E9 – Sucesos independientes e incompatibles
Castilla y León · 2023 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Sean \(A,B,C\) sucesos con \(P(A)=0{,}3\), \(P(B)=0{,}4\) y \(P(C)=0{,}5\). Se sabe que \(A\) y \(B\) son independientes, y que \(A\) y \(C\) son incompatibles. Calcular
\[
P(A\cap B),\ P(A\cap C),\ P(A\cap\overline C),\ P(A\cup B),\ P(\overline A\cup\overline B).
\]
(2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Definiremos los sucesos y organizaremos los datos antes de aplicar las fórmulas.
Hay que resolver todos los apartados y mantener las condiciones del enunciado durante los cálculos.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Probabilidad.
- Sucesos, uniones e intersecciones.
- Independencia e incompatibilidad.
- Reglas básicas de probabilidad.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos, planteamos las ecuaciones necesarias y efectuamos los cálculos de forma ordenada.
Finalmente comprobamos que el resultado responde exactamente a lo pedido.
🟣 Resolución paso a paso
Por independencia:
\[
P(A\cap B)=P(A)P(B)=0{,}3\cdot0{,}4=\boxed{0{,}12}.
\]
Por incompatibilidad, \(\boxed{P(A\cap C)=0}\). Como \(A=(A\cap C)\cup(A\cap\overline C)\),
\[
P(A\cap\overline C)=P(A)-P(A\cap C)=\boxed{0{,}3}.
\]
\[
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\boxed{0{,}58}.
\]
Por De Morgan, \(\overline A\cup\overline B=\overline{A\cap B}\), luego
\[
P(\overline A\cup\overline B)=1-P(A\cap B)=\boxed{0{,}88}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- Independencia e incompatibilidad son conceptos distintos.
- La fórmula de la unión evita contar dos veces la intersección.
- Las leyes de De Morgan simplifican sucesos con complementarios.