PropiaAnálisisCálculo de derivadasIntermedio

D18 – Deriva \(y=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\)

Matemáticas 1 · 1º Bachillerato

Ficha del problema

Nivel

1º Bachillerato

Asignatura

Matemáticas 1

Bloque

Análisis

Tema

Cálculo de derivadas

Fuente

Propia

Dificultad

Intermedio

Tipo

Cálculo directo

Calcula la derivada de la siguiente función:

\[
y=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}
\]

🟣 Resolución paso a paso

Identificamos numerador y denominador:

\[
u=e^x-e^{-x}
\]
\[
u'=e^x+e^{-x}
\]
\[
v=e^x+e^{-x}
\]
\[
v'=e^x-e^{-x}
\]

Aplicamos la regla del cociente:

\[
y'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}
\]

Sustituimos:

\[
y'=\dfrac{(e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2}{(e^x+e^{-x})^2}
\]

Usamos \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\), o desarrollamos el numerador:

\[
(e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2=4e^xe^{-x}=4
\]
\[
y'=\dfrac{4}{(e^x+e^{-x})^2}
\]

Resultado final:

\[
\boxed{y'=\dfrac4{(e^x+e^{-x})^2}}
\]