Matemáticas I · Trigonometría y geometría · Tema 06

Vectores y operaciones

Aprende a interpretar y representar vectores en el plano, reconocer su módulo, dirección y sentido, calcular sus coordenadas y realizar operaciones gráficas y analíticas.

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Punto de partida

Los vectores permiten representar desplazamientos en el plano

Algunas magnitudes quedan completamente determinadas mediante un número y una unidad. Por ejemplo, una masa de \(5\ \text{kg}\) o una temperatura de \(20^\circ\text{C}\).

Sin embargo, para describir un desplazamiento no basta con indicar su longitud. También necesitamos conocer la dirección en la que se produce y el sentido del movimiento.

Los vectores proporcionan una herramienta gráfica y analítica para estudiar desplazamientos, fuerzas, velocidades y relaciones geométricas. En este tema aprenderemos a interpretarlos, calcular sus coordenadas y operar con ellos.

\(\vec{u}\) Módulo, dirección y sentido
01
Segmentos orientados

Concepto de vector

Un vector es un segmento orientado. Además de tener una longitud, presenta una dirección y un sentido determinados. Gráficamente se representa mediante una flecha.

Elemento geométrico Segmento orientado

Vector fijo

Un vector fijo queda determinado por dos puntos concretos del plano: un punto inicial y un punto final.

\[ \overrightarrow{AB} \]

En esta notación, \(A\) es el origen del vector y \(B\) es su extremo.

Interpretación Desplazamiento

Movimiento entre dos puntos

El vector \(\overrightarrow{AB}\) representa el desplazamiento necesario para ir desde el punto \(A\) hasta el punto \(B\).

Por tanto, el orden de los puntos es fundamental:

\[ \overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{BA} \]
Representación de un vector desde A hasta B Un vector comienza en el punto A y termina en el punto B. La flecha indica el sentido del desplazamiento. A origen B extremo vector AB sentido desde A hacia B

El origen se encuentra en \(A\), el extremo en \(B\) y la punta de la flecha indica que el desplazamiento se realiza desde \(A\) hacia \(B\).

A

Origen

Es el punto en el que comienza el vector. En \(\overrightarrow{AB}\), el origen es el punto \(A\).

B

Extremo

Es el punto en el que termina el vector. En \(\overrightarrow{AB}\), el extremo es el punto \(B\).

→

Orientación

La flecha señala cuál es el recorrido del vector y permite distinguir el origen del extremo.

i La expresión \(\overrightarrow{AB}\) se lee «vector de \(A\) a \(B\)». La primera letra corresponde siempre al origen y la segunda al extremo.
Comparación fundamental

Diferencia entre \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{BA}\)

Los dos vectores se apoyan sobre el mismo segmento y tienen la misma longitud. Sin embargo, no son iguales porque presentan sentidos contrarios.

Comparación de los vectores AB y BA Los vectores AB y BA tienen la misma dirección y el mismo módulo, pero sentidos opuestos. A B vector AB A B vector BA

Los dos vectores recorren el mismo segmento, pero lo hacen en sentidos contrarios.

\[ \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} \]

Decimos que \(\overrightarrow{BA}\) es el vector opuesto de \(\overrightarrow{AB}\).

1.1
Dos formas de interpretar un vector

Vector fijo y vector libre

Un vector puede estudiarse indicando exactamente dónde comienza y termina, o atendiendo únicamente a sus características geométricas.

Posición determinada Vector fijo

Depende de sus puntos de aplicación

Un vector fijo tiene un origen y un extremo concretos. No puede desplazarse a otra zona del plano sin cambiar el segmento orientado que estamos considerando.

\[ \overrightarrow{AB} \]
Posición indiferente Vector libre

Puede trasladarse paralelamente

Un vector libre no depende del lugar del plano en el que se dibuje. Puede trasladarse sin cambiar su módulo, dirección ni sentido.

\[ \vec{u} \]
Distintas representaciones de un mismo vector libre Tres vectores situados en posiciones diferentes presentan igual módulo, dirección y sentido. misma longitud misma dirección Tres representaciones del mismo vector libre

Aunque los segmentos orientados ocupan posiciones diferentes, todos representan el mismo vector libre porque tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

i En las operaciones analíticas trabajaremos principalmente con vectores libres, que representaremos mediante letras minúsculas con una flecha, como \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) o \(\vec{w}\).
1.2
Interpretación de las magnitudes

Magnitudes escalares y vectoriales

Los vectores se utilizan para representar magnitudes que no pueden describirse únicamente mediante un número.

Solo cantidad Escalar

Magnitud escalar

Queda determinada mediante un número y una unidad de medida.

Son magnitudes escalares la masa, el tiempo, la temperatura, la longitud o el volumen.

\[ 5\ \text{kg}, \qquad 12\ \text{s}, \qquad 20^\circ\text{C} \]
Cantidad y orientación Vectorial

Magnitud vectorial

Para quedar completamente determinada necesita un módulo, una dirección y un sentido.

Son magnitudes vectoriales el desplazamiento, la velocidad, la aceleración y la fuerza.

\[ \vec{v}, \qquad \vec{a}, \qquad \vec{F} \]
Magnitud Tipo Información necesaria Ejemplo
Masa Escalar Valor y unidad \(4\ \text{kg}\)
Temperatura Escalar Valor y unidad \(18^\circ\text{C}\)
Desplazamiento Vectorial Módulo, dirección y sentido \(5\ \text{m}\) hacia el este
Fuerza Vectorial Módulo, dirección y sentido \(20\ \text{N}\) verticales hacia arriba
Ejemplo de interpretación

Una persona camina \(6\ \text{m}\) desde el punto \(A\) hasta el punto \(B\). ¿Qué información representa el vector \(\overrightarrow{AB}\)?

Módulo

El módulo del vector es la distancia recorrida entre los dos puntos:

\[ \left| \overrightarrow{AB} \right| = 6\ \text{m} \]

Dirección

La dirección es la de la recta que pasa por los puntos \(A\) y \(B\).

Sentido

El sentido es desde \(A\) hacia \(B\), pues el desplazamiento comienza en \(A\) y termina en \(B\).

\[ A \longrightarrow B \]
Idea esencial

Un vector no es solo una longitud

Para determinar un vector debemos conocer cuánto mide, sobre qué dirección se encuentra y hacia cuál de los dos sentidos posibles está orientado.

01

Tiene un origen

El vector comienza en el primer punto de su notación.

02

Tiene un extremo

El vector termina en el segundo punto de su notación.

03

Está orientado

La punta de la flecha determina el sentido del vector.

\[ \text{vector} = \text{módulo} + \text{dirección} + \text{sentido} \]
02
Características fundamentales

Módulo, dirección y sentido

Para que dos vectores sean iguales deben coincidir sus tres características fundamentales: el módulo, la dirección y el sentido. La posición concreta en la que se dibujen no es relevante cuando trabajamos con vectores libres.

Longitud Módulo

¿Cuánto mide el vector?

El módulo de un vector es la longitud del segmento que lo representa.

\[ \left|\vec{u}\right| \]

El módulo es siempre un número mayor o igual que cero.

Recta soporte Dirección

¿Sobre qué línea se encuentra?

La dirección de un vector es la dirección de la recta que contiene al segmento orientado.

Dos vectores paralelos tienen la misma dirección, aunque estén situados sobre rectas diferentes.

Orientación Sentido

¿Hacia dónde apunta?

Para cada dirección existen dos sentidos posibles. La punta de la flecha señala cuál de ellos corresponde al vector.

\[ \longrightarrow \qquad \longleftarrow \]
Módulo, dirección y sentido de un vector Diagrama de un vector sobre una recta soporte con indicaciones de su longitud, dirección y sentido. módulo = longitud dirección recta soporte sentido hacia la flecha A B

El módulo corresponde a la longitud del segmento, la dirección viene determinada por la recta soporte y el sentido se reconoce mediante la punta de la flecha.

2.1
Longitud del vector

El módulo

El módulo mide la longitud del vector. Se representa escribiendo el vector entre barras verticales.

\(|\vec{u}|\)

Notación

Si el vector se llama \(\vec{u}\), su módulo se representa mediante \(\left|\vec{u}\right|\).

\[ \left|\vec{u}\right|\geq 0 \]
0

Nunca es negativo

Una longitud no puede ser negativa. Por tanto, el módulo siempre será positivo o igual a cero.

\[ \left|\vec{u}\right|=0 \iff \vec{u}=\vec{0} \]
i Dos vectores pueden tener el mismo módulo y, sin embargo, no ser iguales. También deben coincidir su dirección y su sentido.
Ejemplo 1

Compara los módulos de los vectores representados

Comparación visual de módulos Tres vectores de diferentes direcciones, dos de ellos con la misma longitud. u v w

Los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) tienen la misma longitud, aunque presentan direcciones diferentes. El vector \(\vec{w}\) tiene menor módulo.

Comparación

\[ \left|\vec{u}\right| = \left|\vec{v}\right| > \left|\vec{w}\right| \]

La orientación del vector no afecta a su módulo. Solamente importa su longitud.

2.2
Rectas paralelas

La dirección

La dirección de un vector viene determinada por la recta que lo contiene y por todas las rectas paralelas a ella.

Idea clave Paralelismo

Misma dirección

Dos vectores tienen la misma dirección cuando sus rectas soporte son paralelas o coincidentes.

\[ r\parallel s \]
No confundir Dirección y sentido

Tener la misma dirección no basta

Dos vectores pueden ser paralelos y apuntar en sentidos contrarios. En ese caso tienen la misma dirección, pero diferente sentido.

Vectores con la misma dirección Tres vectores situados sobre rectas paralelas presentan la misma dirección. u v w Las tres rectas soporte son paralelas

Los tres vectores tienen la misma dirección. Sin embargo, \(\vec{w}\) tiene sentido contrario a \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\).

2.3
Dos posibilidades

El sentido

Una vez fijada una dirección, existen exactamente dos sentidos posibles. La punta de la flecha determina cuál corresponde al vector.

→

Primer sentido

En una dirección horizontal, un vector puede apuntar hacia la derecha.

\[ \longrightarrow \]
←

Sentido contrario

Sobre la misma dirección horizontal, también puede apuntar hacia la izquierda.

\[ \longleftarrow \]
! No es correcto decir que dos vectores tienen distinta dirección únicamente porque apuntan en sentidos contrarios. Si sus rectas soporte son paralelas, tienen la misma dirección.
Ejemplo 2

Compara la dirección y el sentido de los siguientes vectores

Vectores con igual dirección y sentidos opuestos Dos vectores horizontales apuntan hacia la derecha y uno apunta hacia la izquierda. u v w

Todos los vectores son horizontales y, por tanto, tienen la misma dirección. Los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) tienen el mismo sentido; \(\vec{w}\) tiene sentido contrario.

Dirección

Las rectas soporte son paralelas, de modo que los tres vectores tienen la misma dirección.

Sentido

\(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) apuntan hacia la derecha. Por tanto, tienen el mismo sentido.

\(\vec{w}\) apunta hacia la izquierda, por lo que presenta sentido contrario.

2.4
Caso especial

El vector nulo

El vector nulo es aquel cuyo origen y extremo coinciden. Su longitud es cero y se representa mediante \(\vec{0}\).

Origen = extremo Vector nulo

No produce desplazamiento

Si una persona permanece en el mismo punto, el desplazamiento realizado es nulo.

\[ \overrightarrow{AA} = \vec{0} \]
Propiedad Módulo cero

Longitud igual a cero

\[ \left|\vec{0}\right| = 0 \]

El vector nulo no tiene una dirección ni un sentido determinados.

2.5
Módulo igual a uno

Vector unitario

Un vector unitario es un vector cuyo módulo es igual a una unidad.

1

Definición

\[ \left|\vec{u}\right|=1 \]

Los vectores unitarios se utilizan para indicar una dirección y un sentido sin introducir una longitud adicional.

\(\vec{\imath}\)

Vectores de la base cartesiana

En el plano se utilizan habitualmente dos vectores unitarios perpendiculares:

\[ \vec{\imath}=(1,0), \qquad \vec{\jmath}=(0,1) \]
2.6
Mismo módulo y dirección

Vector opuesto

El vector opuesto de \(\vec{u}\) tiene el mismo módulo y la misma dirección, pero sentido contrario.

\[ -\vec{u} \]
=

Mismo módulo

\[ \left|-\vec{u}\right| = \left|\vec{u}\right| \]
∥

Misma dirección

Ambos vectores se encuentran sobre rectas soporte paralelas o coincidentes.

⇄

Sentido contrario

Las puntas de las flechas se orientan hacia lados opuestos.

\[ \vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0} \]
Ejemplo 3 · Clasificación

Determina qué características comparten los vectores \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\)

Supongamos que:

  • \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) son paralelos, tienen la misma longitud y apuntan hacia el mismo lado.
  • \(\vec{c}\) es paralelo a los anteriores y tiene la misma longitud, pero apunta en sentido contrario.

Comparación de \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\)

Coinciden el módulo, la dirección y el sentido. Por tanto:

\[ \vec{a}=\vec{b} \]

Comparación de \(\vec{a}\) y \(\vec{c}\)

Tienen el mismo módulo y la misma dirección, pero sentido contrario. Por tanto:

\[ \vec{c}=-\vec{a} \]

Conclusión

\[ \vec{a} = \vec{b}, \qquad \vec{c} = -\vec{a} = -\vec{b} \]
Característica Pregunta que responde Interpretación
Módulo ¿Cuánto mide? Longitud del segmento orientado
Dirección ¿Sobre qué línea se encuentra? Recta soporte y todas sus paralelas
Sentido ¿Hacia dónde apunta? Orientación indicada por la flecha
Qué debes recordar

Las tres características deben estudiarse por separado

Para comparar vectores no basta con observar su longitud. Es necesario comprobar también si sus rectas soporte son paralelas y si las flechas apuntan en el mismo sentido.

01

Igualdad de vectores

Dos vectores son iguales cuando coinciden su módulo, su dirección y su sentido.

02

Vectores opuestos

Tienen el mismo módulo y dirección, pero sentidos contrarios.

03

Vector nulo

Su módulo es cero y su origen coincide con su extremo.

04

Vector unitario

Es cualquier vector cuyo módulo es igual a uno.

05

Misma dirección

Significa que las rectas soporte son paralelas o coincidentes.

06

El sentido lo marca la flecha

Para una misma dirección siempre existen dos sentidos posibles.

\[ \vec{u}=\vec{v} \iff \begin{cases} |\vec{u}|=|\vec{v}|\\[3pt] \text{misma dirección}\\[3pt] \text{mismo sentido} \end{cases} \]
03
Expresión analítica

Coordenadas de un vector

En un sistema de coordenadas cartesianas, un vector puede describirse mediante dos números que indican cuánto nos desplazamos horizontal y verticalmente.

Primera componente Desplazamiento horizontal

Componente \(x\)

La primera coordenada indica el desplazamiento horizontal.

  • Si es positiva, nos desplazamos hacia la derecha.
  • Si es negativa, nos desplazamos hacia la izquierda.
  • Si es cero, no existe desplazamiento horizontal.
Segunda componente Desplazamiento vertical

Componente \(y\)

La segunda coordenada indica el desplazamiento vertical.

  • Si es positiva, nos desplazamos hacia arriba.
  • Si es negativa, nos desplazamos hacia abajo.
  • Si es cero, no existe desplazamiento vertical.
\[ \vec{u}=(u_1,u_2) \]

La primera componente \(u_1\) representa el desplazamiento horizontal y la segunda componente \(u_2\) representa el desplazamiento vertical.

Componentes de un vector en el plano El vector u tiene una componente horizontal positiva y una componente vertical positiva. x y A B componente x componente y vector u

El vector puede descomponerse en un desplazamiento horizontal y otro vertical. Estas dos cantidades forman sus coordenadas.

3.1
Interpretación geométrica

Signo de las coordenadas

Componente Signo positivo Signo negativo Valor cero
Primera coordenada Desplazamiento hacia la derecha Desplazamiento hacia la izquierda Vector vertical
Segunda coordenada Desplazamiento hacia arriba Desplazamiento hacia abajo Vector horizontal
\((+,+)\)

Derecha y arriba

\[ \vec{u}=(4,3) \]

Nos desplazamos cuatro unidades hacia la derecha y tres hacia arriba.

\((-,+)\)

Izquierda y arriba

\[ \vec{v}=(-2,5) \]

Nos desplazamos dos unidades hacia la izquierda y cinco hacia arriba.

\((+,-)\)

Derecha y abajo

\[ \vec{w}=(3,-4) \]

Nos desplazamos tres unidades hacia la derecha y cuatro hacia abajo.

3.2
Del origen al extremo

Coordenadas del vector determinado por dos puntos

Si conocemos las coordenadas del origen y del extremo, las componentes del vector se obtienen restando las coordenadas del origen a las del extremo.

\[ A(x_A,y_A), \qquad B(x_B,y_B) \]
\[ \overrightarrow{AB} = \left( x_B-x_A,\; y_B-y_A \right) \]
i Debemos restar siempre «extremo menos origen». En \(\overrightarrow{AB}\), el extremo es \(B\) y el origen es \(A\).
Ejemplo 1 · Coordenadas positivas

Calcula las coordenadas de \(\overrightarrow{AB}\), siendo \(A(1,2)\) y \(B(6,5)\)

Paso 1. Identificamos el origen y el extremo

El vector es \(\overrightarrow{AB}\), por lo que:

\[ \text{origen}=A(1,2), \qquad \text{extremo}=B(6,5) \]

Paso 2. Restamos extremo menos origen

\[ \overrightarrow{AB} = (6-1,\;5-2) \]

Paso 3. Calculamos las componentes

\[ \boxed{ \overrightarrow{AB}=(5,3) } \]

Interpretación

Para ir desde \(A\) hasta \(B\) debemos desplazarnos cinco unidades hacia la derecha y tres unidades hacia arriba.

Ejemplo 2 · Componentes negativas

Calcula \(\overrightarrow{PQ}\), siendo \(P(4,-1)\) y \(Q(-2,3)\)

Paso 1. Aplicamos la fórmula

\[ \overrightarrow{PQ} = \left( x_Q-x_P,\; y_Q-y_P \right) \]

Paso 2. Sustituimos las coordenadas

\[ \overrightarrow{PQ} = \left( -2-4,\; 3-(-1) \right) \]

Paso 3. Operamos con cuidado los signos

\[ \overrightarrow{PQ} = (-6,\;4) \]
\[ \boxed{ \overrightarrow{PQ}=(-6,4) } \]

Interpretación

La primera componente es negativa, por lo que nos desplazamos seis unidades hacia la izquierda. La segunda es positiva, por lo que subimos cuatro unidades.

Ejemplo 3 · Vector opuesto

Dados \(A(-1,2)\) y \(B(3,7)\), calcula \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{BA}\)

Calculamos \(\overrightarrow{AB}\)

\[ \overrightarrow{AB} = \left( 3-(-1),\; 7-2 \right) \]
\[ \overrightarrow{AB} = (4,5) \]

Calculamos \(\overrightarrow{BA}\)

\[ \overrightarrow{BA} = \left( -1-3,\; 2-7 \right) \]
\[ \overrightarrow{BA} = (-4,-5) \]

Comparamos ambos vectores

\[ \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} \]
\[ \boxed{ \overrightarrow{AB}=(4,5), \qquad \overrightarrow{BA}=(-4,-5) } \]
3.3
Problema inverso

Obtener el extremo conociendo el origen y el vector

También podemos conocer el origen y las coordenadas del vector y tener que calcular su extremo.

\[ A(x_A,y_A), \qquad \overrightarrow{AB}=(u_1,u_2) \]
\[ B = \left( x_A+u_1,\; y_A+u_2 \right) \]
Ejemplo 4 · Cálculo del extremo

El vector \(\overrightarrow{AB}=(5,-3)\) tiene su origen en \(A(2,4)\). Calcula las coordenadas de \(B\)

Paso 1. Planteamos las coordenadas desconocidas

\[ B(x_B,y_B) \]

Paso 2. Utilizamos la definición de coordenadas del vector

\[ \overrightarrow{AB} = (x_B-2,\;y_B-4) \]

Como \(\overrightarrow{AB}=(5,-3)\), igualamos las componentes:

\[ \begin{cases} x_B-2=5\\[4pt] y_B-4=-3 \end{cases} \]

Paso 3. Resolvemos

\[ \begin{cases} x_B=7\\[4pt] y_B=1 \end{cases} \]
\[ \boxed{B(7,1)} \]

Comprobación

\[ \overrightarrow{AB} = (7-2,\;1-4) = (5,-3) \]
3.4
Comparación analítica

Igualdad de vectores mediante coordenadas

Dos vectores son iguales si sus componentes correspondientes son iguales.

\[ \vec{u}=(u_1,u_2), \qquad \vec{v}=(v_1,v_2) \]
\[ \vec{u}=\vec{v} \iff \begin{cases} u_1=v_1\\[3pt] u_2=v_2 \end{cases} \]
Ejemplo 5 · Igualdad de vectores

Calcula \(a\) y \(b\) para que los vectores \(\vec{u}=(2a-1,\,b+3)\) y \(\vec{v}=(7,\,5)\) sean iguales

Paso 1. Igualamos las primeras componentes

\[ 2a-1=7 \]
\[ 2a=8 \quad\Longrightarrow\quad a=4 \]

Paso 2. Igualamos las segundas componentes

\[ b+3=5 \]
\[ b=2 \]

Solución

\[ \boxed{a=4,\qquad b=2} \]

Comprobación

\[ \vec{u} = (2\cdot4-1,\;2+3) = (7,5) = \vec{v} \]
Qué debes recordar

Las coordenadas describen un desplazamiento

La primera componente indica el desplazamiento horizontal y la segunda el vertical. Para calcular un vector determinado por dos puntos, siempre restamos extremo menos origen.

01

Primera componente

Describe el desplazamiento horizontal.

02

Segunda componente

Describe el desplazamiento vertical.

03

Orden correcto

Las coordenadas se calculan restando extremo menos origen.

\[ \overrightarrow{AB} = \left( x_B-x_A,\; y_B-y_A \right) \]
04
Longitud en el plano cartesiano

Módulo de un vector a partir de sus coordenadas

Cuando conocemos las coordenadas de un vector, su módulo puede calcularse aplicando el teorema de Pitágoras a sus componentes horizontal y vertical.

Deducción del módulo mediante el teorema de Pitágoras Las componentes de un vector forman los catetos de un triángulo rectángulo, mientras que el vector es la hipotenusa. componente u₁ componente u₂ módulo |u|

Las componentes \(u_1\) y \(u_2\) son los catetos del triángulo rectángulo. El módulo del vector es la longitud de la hipotenusa.

4.1
Deducción paso a paso

Aplicación del teorema de Pitágoras

Sea el vector \(\vec{u}=(u_1,u_2)\). Sus componentes forman los catetos de un triángulo rectángulo.

Paso 1. Aplicamos el teorema de Pitágoras

\[ \left|\vec{u}\right|^2 = u_1^2+u_2^2 \]

Paso 2. Despejamos el módulo

\[ \left|\vec{u}\right| = \sqrt{u_1^2+u_2^2} \]
i Aunque una componente sea negativa, al elevarla al cuadrado su contribución al módulo es positiva.
Ejemplo 1 · Módulo exacto

Calcula el módulo del vector \(\vec{u}=(3,4)\)

Paso 1. Aplicamos la fórmula

\[ \left|\vec{u}\right| = \sqrt{3^2+4^2} \]

Paso 2. Calculamos los cuadrados

\[ \left|\vec{u}\right| = \sqrt{9+16} \]

Paso 3. Simplificamos

\[ \left|\vec{u}\right| = \sqrt{25} = 5 \]
\[ \boxed{ \left|\vec{u}\right|=5 } \]
Ejemplo 2 · Componente negativa

Calcula el módulo de \(\vec{v}=(-5,12)\)

Paso 1. Sustituimos las coordenadas

\[ \left|\vec{v}\right| = \sqrt{(-5)^2+12^2} \]

Paso 2. Calculamos los cuadrados

\[ \left|\vec{v}\right| = \sqrt{25+144} \]

Paso 3. Simplificamos

\[ \left|\vec{v}\right| = \sqrt{169} = 13 \]
\[ \boxed{ \left|\vec{v}\right|=13 } \]
! Debemos escribir \((-5)^2\), con paréntesis. De este modo queda claro que el resultado es \(25\).
Ejemplo 3 · Resultado radical

Calcula y simplifica el módulo de \(\vec{w}=(6,-2)\)

Paso 1. Aplicamos la fórmula

\[ \left|\vec{w}\right| = \sqrt{6^2+(-2)^2} \]

Paso 2. Operamos

\[ \left|\vec{w}\right| = \sqrt{36+4} = \sqrt{40} \]

Paso 3. Simplificamos el radical

\[ \sqrt{40} = \sqrt{4\cdot10} = 2\sqrt{10} \]
\[ \boxed{ \left|\vec{w}\right|=2\sqrt{10} } \]
4.2
Aplicación geométrica

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos \(A\) y \(B\) coincide con el módulo del vector \(\overrightarrow{AB}\).

\[ d(A,B) = \left| \overrightarrow{AB} \right| \]
\[ d(A,B) = \sqrt{ (x_B-x_A)^2+ (y_B-y_A)^2 } \]
Ejemplo 4 · Distancia entre puntos

Calcula la distancia entre \(A(-2,1)\) y \(B(4,9)\)

Paso 1. Calculamos el vector \(\overrightarrow{AB}\)

\[ \overrightarrow{AB} = \left( 4-(-2),\; 9-1 \right) \]
\[ \overrightarrow{AB} = (6,8) \]

Paso 2. Calculamos su módulo

\[ \left| \overrightarrow{AB} \right| = \sqrt{6^2+8^2} \]
\[ \left| \overrightarrow{AB} \right| = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10 \]

Resultado

\[ \boxed{d(A,B)=10} \]
4.3
Problema inverso

Calcular una componente conociendo el módulo

Ejemplo 5 · Componente desconocida

Calcula los posibles valores de \(a\) para que el vector \(\vec{u}=(a,4)\) tenga módulo \(5\)

Paso 1. Aplicamos la fórmula del módulo

\[ \sqrt{a^2+4^2}=5 \]

Paso 2. Elevamos al cuadrado

\[ a^2+16=25 \]

Paso 3. Despejamos \(a^2\)

\[ a^2=9 \]

Paso 4. Extraemos la raíz cuadrada

\[ a=\pm3 \]
\[ \boxed{a=3\quad\text{o}\quad a=-3} \]

Existen dos soluciones porque los vectores \((3,4)\) y \((-3,4)\) tienen la misma longitud.

4.4
Atención a los signos

Errores frecuentes al calcular el módulo

Error 1 Sumar componentes

El módulo no es \(u_1+u_2\)

\[ |\vec{u}| \neq u_1+u_2 \]

Debemos utilizar el teorema de Pitágoras.

Error 2 Olvidar la raíz

La suma de cuadrados es el módulo al cuadrado

\[ |\vec{u}|^2 = u_1^2+u_2^2 \]

Para obtener el módulo debemos extraer la raíz cuadrada.

Error 3 Signos negativos

Utiliza paréntesis

\[ (-3)^2=9 \]

Las componentes negativas también aportan cantidades positivas al módulo.

Qué debes recordar

El módulo es la longitud del vector

Las componentes forman los catetos de un triángulo rectángulo. Por eso el módulo se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras.

01

Es siempre no negativo

Una longitud nunca puede tener valor negativo.

02

Se elevan las componentes

Cada componente debe elevarse al cuadrado antes de sumar.

03

Se extrae la raíz

La raíz cuadrada permite obtener la longitud de la hipotenusa.

\[ \boxed{ \left|\vec{u}\right| = \sqrt{u_1^2+u_2^2} } \]
05
Misma representación vectorial

Vectores equipolentes

Dos vectores fijos son equipolentes cuando representan el mismo vector libre. Para ello deben tener el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

\[ \overrightarrow{AB} \sim \overrightarrow{CD} \]
Condición 1 Módulo

Misma longitud

Los segmentos orientados deben medir exactamente lo mismo.

\[ \left| \overrightarrow{AB} \right| = \left| \overrightarrow{CD} \right| \]
Condición 2 Dirección

Rectas soporte paralelas

Ambos vectores deben estar situados sobre rectas paralelas o coincidentes.

Condición 3 Sentido

Misma orientación

Las puntas de las flechas deben señalar hacia el mismo lado.

Vectores equipolentes en distintas posiciones Tres vectores situados en posiciones diferentes tienen la misma longitud, dirección y sentido. A B C D E F Mismo módulo, dirección y sentido

Aunque se encuentran en posiciones distintas, los tres segmentos orientados representan el mismo vector libre.

5.1
Coordenadas iguales

Criterio analítico de equipolencia

Dos vectores son equipolentes si tienen las mismas coordenadas.

\[ \overrightarrow{AB} \sim \overrightarrow{CD} \iff \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \]
\[ \left( x_B-x_A,\; y_B-y_A \right) = \left( x_D-x_C,\; y_D-y_C \right) \]
i No es necesario que los vectores tengan el mismo origen ni el mismo extremo. Basta con que produzcan exactamente el mismo desplazamiento.
Ejemplo 1 · Comprobación analítica

Comprueba si los vectores \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{CD}\) son equipolentes, siendo \(A(1,2)\), \(B(5,4)\), \(C(-2,3)\) y \(D(2,5)\)

Paso 1. Calculamos \(\overrightarrow{AB}\)

\[ \overrightarrow{AB} = (5-1,\;4-2) \]
\[ \overrightarrow{AB} = (4,2) \]

Paso 2. Calculamos \(\overrightarrow{CD}\)

\[ \overrightarrow{CD} = \left( 2-(-2),\; 5-3 \right) \]
\[ \overrightarrow{CD} = (4,2) \]

Paso 3. Comparamos las coordenadas

\[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} = (4,2) \]

Conclusión

\[ \boxed{ \overrightarrow{AB} \sim \overrightarrow{CD} } \]

Los dos vectores representan el mismo desplazamiento: cuatro unidades hacia la derecha y dos hacia arriba.

Ejemplo 2 · Vectores no equipolentes

Estudia si son equipolentes \(\overrightarrow{PQ}\) y \(\overrightarrow{RS}\), siendo \(P(0,1)\), \(Q(3,5)\), \(R(2,-1)\) y \(S(5,-6)\)

Paso 1. Calculamos \(\overrightarrow{PQ}\)

\[ \overrightarrow{PQ} = (3-0,\;5-1) = (3,4) \]

Paso 2. Calculamos \(\overrightarrow{RS}\)

\[ \overrightarrow{RS} = (5-2,\;-6-(-1)) \]
\[ \overrightarrow{RS} = (3,-5) \]

Paso 3. Comparamos

\[ (3,4)\neq(3,-5) \]

Conclusión

\[ \boxed{ \overrightarrow{PQ} \not\sim \overrightarrow{RS} } \]
5.2
Trasladar un vector

Construir un vector equipolente desde un punto dado

Si conocemos un vector y queremos construir otro equipolente con origen en un punto determinado, basta con sumar las componentes del vector a las coordenadas del nuevo origen.

\[ \vec{u}=(u_1,u_2), \qquad C(x_C,y_C) \]
\[ D = \left( x_C+u_1,\; y_C+u_2 \right) \]
Ejemplo 3 · Construcción de un equipolente

El vector \(\overrightarrow{AB}\) está determinado por \(A(1,-2)\) y \(B(5,1)\). Calcula el punto \(D\) para que \(\overrightarrow{CD}\) sea equipolente a \(\overrightarrow{AB}\), sabiendo que \(C(-3,4)\)

Paso 1. Calculamos \(\overrightarrow{AB}\)

\[ \overrightarrow{AB} = \left( 5-1,\; 1-(-2) \right) \]
\[ \overrightarrow{AB} = (4,3) \]

Paso 2. Imponemos la equipolencia

Necesitamos que:

\[ \overrightarrow{CD} = (4,3) \]

Si \(D(x_D,y_D)\), entonces:

\[ \overrightarrow{CD} = \left( x_D-(-3),\; y_D-4 \right) \]

Paso 3. Igualamos las componentes

\[ \begin{cases} x_D+3=4\\[4pt] y_D-4=3 \end{cases} \]

Paso 4. Resolvemos

\[ \begin{cases} x_D=1\\[4pt] y_D=7 \end{cases} \]
\[ \boxed{D(1,7)} \]

Comprobación

\[ \overrightarrow{CD} = \left( 1-(-3),\; 7-4 \right) = (4,3) \]
! Dos vectores no son equipolentes únicamente por tener el mismo módulo. También deben coincidir su dirección y su sentido. El criterio más seguro es calcular y comparar sus coordenadas.
Qué debes recordar

Los vectores equipolentes representan el mismo desplazamiento

La posición concreta del segmento orientado no importa. Si las coordenadas coinciden, los vectores tienen el mismo módulo, dirección y sentido.

01

Misma longitud

Los vectores tienen igual módulo.

02

Paralelismo

Sus rectas soporte son paralelas o coincidentes.

03

Misma orientación

Ambos apuntan hacia el mismo sentido.

\[ \overrightarrow{AB} \sim \overrightarrow{CD} \iff \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \]
06
Operaciones fundamentales

Suma y resta de vectores

Los vectores pueden sumarse y restarse tanto de forma gráfica como mediante sus coordenadas. Estas operaciones permiten combinar desplazamientos sucesivos.

Operación 1 Suma

Combinar desplazamientos

La suma de dos vectores representa el desplazamiento total obtenido al realizar primero uno y después el otro.

\[ \vec{u}+\vec{v} \]
Operación 2 Resta

Sumar el vector opuesto

Restar un vector equivale a sumar su opuesto.

\[ \vec{u}-\vec{v} = \vec{u}+(-\vec{v}) \]
6.1
Regla del triángulo

Suma gráfica de vectores

Para sumar gráficamente dos vectores, colocamos el origen del segundo vector en el extremo del primero. El vector suma une el origen del primero con el extremo del segundo.

1

Dibuja el primer vector

Representamos \(\vec{u}\) desde un punto cualquiera.

2

Traslada el segundo

Situamos el origen de \(\vec{v}\) en el extremo de \(\vec{u}\).

3

Traza el vector suma

Unimos el origen de \(\vec{u}\) con el extremo de \(\vec{v}\).

Suma de vectores mediante la regla del triángulo El vector v se coloca a continuación del vector u y el vector suma une el origen del primero con el extremo del segundo. u v u + v

El vector suma representa el desplazamiento total obtenido al recorrer primero \(\vec{u}\) y después \(\vec{v}\).

6.2
Mismo origen

Regla del paralelogramo

Cuando los dos vectores tienen el mismo origen, podemos completar un paralelogramo. La diagonal que parte del origen común representa la suma.

Suma de vectores mediante la regla del paralelogramo Dos vectores con el mismo origen forman dos lados de un paralelogramo y su diagonal representa la suma. u v u + v

La diagonal del paralelogramo que parte del origen común es el vector \(\vec{u}+\vec{v}\).

6.3
Operación por componentes

Suma analítica de vectores

Para sumar vectores mediante coordenadas, sumamos por separado las primeras componentes y las segundas componentes.

\[ \vec{u}=(u_1,u_2), \qquad \vec{v}=(v_1,v_2) \]
\[ \vec{u}+\vec{v} = \left( u_1+v_1,\; u_2+v_2 \right) \]
Ejemplo 1 · Suma de vectores

Calcula \(\vec{u}+\vec{v}\), siendo \(\vec{u}=(3,-2)\) y \(\vec{v}=(5,4)\)

Paso 1. Sumamos las primeras componentes

\[ 3+5=8 \]

Paso 2. Sumamos las segundas componentes

\[ -2+4=2 \]

Resultado

\[ \vec{u}+\vec{v} = (3+5,\;-2+4) \]
\[ \boxed{ \vec{u}+\vec{v}=(8,2) } \]
Ejemplo 2 · Suma de tres vectores

Calcula \(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}\), siendo \(\vec{u}=(2,1)\), \(\vec{v}=(-3,4)\) y \(\vec{w}=(5,-2)\)

Paso 1. Sumamos las primeras componentes

\[ 2+(-3)+5=4 \]

Paso 2. Sumamos las segundas componentes

\[ 1+4+(-2)=3 \]

Resultado

\[ \boxed{ \vec{u}+\vec{v}+\vec{w} = (4,3) } \]
6.4
Propiedades algebraicas

Propiedades de la suma de vectores

Propiedad Expresión Interpretación
Conmutativa \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}\) El orden de los sumandos no altera el resultado.
Asociativa \((\vec{u}+\vec{v})+\vec{w} = \vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})\) Podemos agrupar los vectores de distintas formas.
Elemento neutro \(\vec{u}+\vec{0}=\vec{u}\) Sumar el vector nulo no modifica el vector.
Elemento opuesto \(\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}\) Un vector y su opuesto se anulan.
6.5
Suma del opuesto

Resta de vectores

Para restar dos vectores, sumamos al primero el opuesto del segundo.

\[ \vec{u}-\vec{v} = \vec{u}+(-\vec{v}) \]

Analíticamente, restamos las componentes correspondientes.

\[ \vec{u}-\vec{v} = \left( u_1-v_1,\; u_2-v_2 \right) \]
Interpretación gráfica de la resta de vectores La resta u menos v se obtiene sumando el vector u y el vector opuesto de v. u −v u − v

Restar \(\vec{v}\) consiste en cambiar su sentido y sumar el vector opuesto \(-\vec{v}\).

Ejemplo 3 · Resta de vectores

Calcula \(\vec{u}-\vec{v}\), siendo \(\vec{u}=(4,7)\) y \(\vec{v}=(-2,3)\)

Paso 1. Restamos las primeras componentes

\[ 4-(-2) = 4+2 = 6 \]

Paso 2. Restamos las segundas componentes

\[ 7-3=4 \]

Resultado

\[ \vec{u}-\vec{v} = \left( 4-(-2),\; 7-3 \right) \]
\[ \boxed{ \vec{u}-\vec{v}=(6,4) } \]
! Cuando restamos una componente negativa, el signo cambia: \(4-(-2)=4+2\).
Ejemplo 4 · Operaciones combinadas

Calcula \(\vec{u}+\vec{v}-\vec{w}\), siendo \(\vec{u}=(2,-1)\), \(\vec{v}=(4,3)\) y \(\vec{w}=(-1,5)\)

Paso 1. Sustituimos los vectores

\[ \vec{u}+\vec{v}-\vec{w} = (2,-1)+(4,3)-(-1,5) \]

Paso 2. Operamos las primeras componentes

\[ 2+4-(-1)=7 \]

Paso 3. Operamos las segundas componentes

\[ -1+3-5=-3 \]

Resultado

\[ \boxed{ \vec{u}+\vec{v}-\vec{w} = (7,-3) } \]
6.6
Ecuaciones vectoriales

Calcular un vector desconocido

Las igualdades entre vectores se resuelven operando e igualando las componentes correspondientes.

Ejemplo 5 · Ecuación vectorial

Calcula \(\vec{x}\) si \[ \vec{x}+(2,-3)=(7,5) \]

Paso 1. Despejamos el vector desconocido

\[ \vec{x} = (7,5)-(2,-3) \]

Paso 2. Restamos las componentes

\[ \vec{x} = \left( 7-2,\; 5-(-3) \right) \]
\[ \vec{x} = (5,8) \]

Comprobación

\[ (5,8)+(2,-3) = (7,5) \]
\[ \boxed{\vec{x}=(5,8)} \]
6.7
Antes de operar

Errores frecuentes en la suma y la resta

Error 1 Mezclar componentes

Cada coordenada se opera con su correspondiente

\[ (a,b)+(c,d) = (a+c,b+d) \]
Error 2 Signos negativos

Coloca paréntesis al restar

\[ a-(-c)=a+c \]
Error 3 Resta gráfica

Primero cambia el sentido

Para representar \(\vec{u}-\vec{v}\), debemos dibujar \(-\vec{v}\), no \(\vec{v}\).

Qué debes recordar

Las operaciones se realizan componente a componente

Gráficamente, la suma combina desplazamientos consecutivos. Analíticamente, sumamos o restamos las coordenadas que ocupan la misma posición.

01

Regla del triángulo

El segundo vector comienza donde termina el primero.

02

Paralelogramo

La diagonal desde el origen común representa la suma.

03

La resta suma el opuesto

Restar \(\vec{v}\) equivale a sumar \(-\vec{v}\).

\[ \vec{u}+\vec{v} = (u_1+v_1,\;u_2+v_2) \] \[ \vec{u}-\vec{v} = (u_1-v_1,\;u_2-v_2) \]
07
Cambiar longitud y orientación

Producto de un vector por un escalar

Multiplicar un vector por un número real permite modificar su módulo y, en algunos casos, también su sentido. La dirección se mantiene siempre que el resultado no sea el vector nulo.

\[ \lambda\vec{u} \]

Si \[ \vec{u}=(u_1,u_2), \] entonces:

\[ \lambda\vec{u} = (\lambda u_1,\lambda u_2) \]
Caso 1 \(\lambda>0\)

Mismo sentido

El nuevo vector conserva la dirección y el sentido de \(\vec{u}\).

Su módulo queda multiplicado por \(\lambda\).

\[ |\lambda\vec{u}| = \lambda|\vec{u}| \]
Caso 2 \(\lambda<0\)

Sentido contrario

El nuevo vector conserva la dirección, pero cambia de sentido.

Su módulo queda multiplicado por el valor absoluto de \(\lambda\).

\[ |\lambda\vec{u}| = |\lambda|\cdot|\vec{u}| \]
Caso 3 \(\lambda=0\)

Vector nulo

Al multiplicar cualquier vector por cero obtenemos el vector nulo.

\[ 0\vec{u} = \vec{0} \]
Producto de un vector por distintos escalares Se comparan el vector u, el doble de u, la mitad de u y el opuesto de u. u 2u ½u −u vector original mismo sentido sentido contrario

Un escalar positivo mantiene el sentido; uno negativo lo invierte. El valor absoluto del escalar determina cuánto cambia el módulo.

7.1
Multiplicar componente a componente

Cálculo analítico

Para multiplicar un vector por un escalar, multiplicamos cada una de sus componentes por dicho número.

\[ \lambda(u_1,u_2) = (\lambda u_1,\lambda u_2) \]
Ejemplo 1 · Escalar positivo

Calcula \(3\vec{u}\), siendo \(\vec{u}=(2,-5)\)

Paso 1. Multiplicamos la primera componente

\[ 3\cdot2=6 \]

Paso 2. Multiplicamos la segunda componente

\[ 3\cdot(-5)=-15 \]

Resultado

\[ 3\vec{u} = 3(2,-5) = (6,-15) \]
\[ \boxed{3\vec{u}=(6,-15)} \]

Como \(3>0\), el vector conserva la dirección y el sentido de \(\vec{u}\), pero su módulo se triplica.

Ejemplo 2 · Escalar negativo

Calcula \(-2\vec{v}\), siendo \(\vec{v}=(-3,4)\)

Paso 1. Multiplicamos la primera componente

\[ -2\cdot(-3)=6 \]

Paso 2. Multiplicamos la segunda componente

\[ -2\cdot4=-8 \]

Resultado

\[ -2\vec{v} = -2(-3,4) = (6,-8) \]
\[ \boxed{-2\vec{v}=(6,-8)} \]

Como el escalar es negativo, el nuevo vector tiene sentido contrario. Como su valor absoluto es \(2\), su módulo es el doble.

Ejemplo 3 · Relación entre módulos

Sea \(\vec{u}=(3,4)\). Calcula \(|\vec{u}|\) y \(|-5\vec{u}|\)

Paso 1. Calculamos el módulo de \(\vec{u}\)

\[ |\vec{u}| = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5 \]

Paso 2. Aplicamos la propiedad del módulo

\[ |-5\vec{u}| = |-5|\cdot|\vec{u}| \]
\[ |-5\vec{u}| = 5\cdot5 = 25 \]
\[ \boxed{ |\vec{u}|=5, \qquad |-5\vec{u}|=25 } \]
7.2
Reglas algebraicas

Propiedades del producto por un escalar

Propiedad Expresión Significado
Distributiva respecto de la suma de vectores \[ \lambda(\vec{u}+\vec{v}) = \lambda\vec{u}+\lambda\vec{v} \] El escalar multiplica a cada vector.
Distributiva respecto de la suma de escalares \[ (\lambda+\mu)\vec{u} = \lambda\vec{u}+\mu\vec{u} \] Podemos separar la suma de escalares.
Asociativa \[ \lambda(\mu\vec{u}) = (\lambda\mu)\vec{u} \] Los escalares pueden multiplicarse primero.
Elemento unidad \[ 1\vec{u} = \vec{u} \] Multiplicar por uno no modifica el vector.
Ejemplo 4 · Propiedad distributiva

Comprueba la propiedad \[ 2(\vec{u}+\vec{v}) = 2\vec{u}+2\vec{v} \] para \(\vec{u}=(1,3)\) y \(\vec{v}=(-2,4)\)

Primer miembro

\[ \vec{u}+\vec{v} = (1,3)+(-2,4) = (-1,7) \]
\[ 2(\vec{u}+\vec{v}) = 2(-1,7) = (-2,14) \]

Segundo miembro

\[ 2\vec{u} = 2(1,3) = (2,6) \]
\[ 2\vec{v} = 2(-2,4) = (-4,8) \]
\[ 2\vec{u}+2\vec{v} = (2,6)+(-4,8) = (-2,14) \]

Conclusión

\[ \boxed{ 2(\vec{u}+\vec{v}) = 2\vec{u}+2\vec{v} = (-2,14) } \]
7.3
Vectores proporcionales

Calcular el escalar que relaciona dos vectores

Dos vectores tienen la misma dirección cuando uno es múltiplo escalar del otro.

\[ \vec{v} = \lambda\vec{u} \]
Ejemplo 5 · Vectores proporcionales

Calcula \(\lambda\) para que \[ \vec{v} = \lambda\vec{u}, \] siendo \(\vec{u}=(2,-3)\) y \(\vec{v}=(-6,9)\)

Paso 1. Igualamos las primeras componentes

\[ -6 = 2\lambda \]
\[ \lambda=-3 \]

Paso 2. Comprobamos con la segunda componente

\[ 9 = -3\lambda \]

Sustituyendo \(\lambda=-3\):

\[ 9 = -3(-3) = 9 \]

Conclusión

\[ \boxed{ \vec{v}=-3\vec{u} } \]

Los vectores tienen la misma dirección y sentido contrario, porque el escalar es negativo.

Qué debes recordar

El escalar modifica el módulo y puede cambiar el sentido

Multiplicar un vector por un número consiste en multiplicar cada una de sus componentes. El signo del escalar determina el sentido y su valor absoluto determina el cambio de longitud.

01

Escalar positivo

Mantiene la dirección y el sentido.

02

Escalar negativo

Mantiene la dirección y cambia el sentido.

03

Escalar cero

Produce el vector nulo.

\[ \lambda(u_1,u_2) = (\lambda u_1,\lambda u_2) \] \[ |\lambda\vec{u}| = |\lambda|\cdot|\vec{u}| \]
08
Construir vectores a partir de otros

Combinaciones lineales

Una combinación lineal de varios vectores se obtiene multiplicando cada uno por un escalar y sumando los resultados.

\[ \lambda\vec{u} + \mu\vec{v} \]

Si \[ \vec{u}=(u_1,u_2) \qquad\text{y}\qquad \vec{v}=(v_1,v_2), \] entonces:

\[ \lambda\vec{u} + \mu\vec{v} = \left( \lambda u_1+\mu v_1,\; \lambda u_2+\mu v_2 \right) \]
Idea algebraica Operaciones combinadas

Multiplicar y sumar

Una combinación lineal reúne las dos operaciones estudiadas: producto por un escalar y suma de vectores.

\[ 2\vec{u}-3\vec{v} \]
Idea geométrica Generar desplazamientos

Construir nuevos vectores

A partir de dos vectores no paralelos del plano podemos construir cualquier otro vector mediante una combinación lineal adecuada.

Construcción de una combinación lineal Los vectores 2u y v se suman para formar el vector 2u más v. 2u v 2u + v

Una combinación lineal puede interpretarse como una sucesión de productos por escalares y sumas de vectores.

8.1
Operar paso a paso

Calcular una combinación lineal

Ejemplo 1 · Cálculo directo

Sean \(\vec{u}=(2,-1)\) y \(\vec{v}=(3,4)\). Calcula \[ 2\vec{u}-3\vec{v} \]

Paso 1. Calculamos \(2\vec{u}\)

\[ 2\vec{u} = 2(2,-1) = (4,-2) \]

Paso 2. Calculamos \(3\vec{v}\)

\[ 3\vec{v} = 3(3,4) = (9,12) \]

Paso 3. Restamos los vectores

\[ 2\vec{u}-3\vec{v} = (4,-2)-(9,12) \]
\[ 2\vec{u}-3\vec{v} = (4-9,\;-2-12) \]
\[ \boxed{ 2\vec{u}-3\vec{v} = (-5,-14) } \]
8.2
Encontrar los coeficientes

Expresar un vector como combinación lineal de otros

Para expresar \(\vec{w}\) como combinación lineal de \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\), buscamos dos números \(\lambda\) y \(\mu\) que cumplan:

\[ \vec{w} = \lambda\vec{u} + \mu\vec{v} \]

Al sustituir las coordenadas e igualar componentes, obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Ejemplo 2 · Sistema compatible

Expresa \(\vec{w}=(7,5)\) como combinación lineal de \(\vec{u}=(1,1)\) y \(\vec{v}=(2,1)\)

Paso 1. Planteamos la combinación lineal

\[ (7,5) = \lambda(1,1) + \mu(2,1) \]

Paso 2. Multiplicamos los vectores

\[ (7,5) = (\lambda,\lambda) + (2\mu,\mu) \]

Paso 3. Sumamos las componentes

\[ (7,5) = (\lambda+2\mu,\;\lambda+\mu) \]

Paso 4. Igualamos componentes

\[ \begin{cases} \lambda+2\mu=7\\[4pt] \lambda+\mu=5 \end{cases} \]

Paso 5. Resolvemos el sistema

Restamos la segunda ecuación a la primera:

\[ (\lambda+2\mu)-(\lambda+\mu) = 7-5 \]
\[ \mu=2 \]

Sustituimos en la segunda ecuación:

\[ \lambda+2=5 \]
\[ \lambda=3 \]

Resultado

\[ \boxed{ \vec{w} = 3\vec{u} + 2\vec{v} } \]

Comprobación

\[ 3(1,1)+2(2,1) = (3,3)+(4,2) = (7,5) \]
Ejemplo 3 · Coeficientes negativos

Expresa \(\vec{w}=(1,-7)\) como combinación lineal de \(\vec{u}=(1,2)\) y \(\vec{v}=(2,1)\)

Paso 1. Planteamos

\[ (1,-7) = \lambda(1,2) + \mu(2,1) \]

Paso 2. Igualamos componentes

\[ \begin{cases} \lambda+2\mu=1\\[4pt] 2\lambda+\mu=-7 \end{cases} \]

Paso 3. Resolvemos por sustitución

De la primera ecuación:

\[ \lambda = 1-2\mu \]

Sustituimos en la segunda:

\[ 2(1-2\mu)+\mu=-7 \]
\[ 2-4\mu+\mu=-7 \]
\[ -3\mu=-9 \]
\[ \mu=3 \]

Calculamos \(\lambda\):

\[ \lambda = 1-2\cdot3 = -5 \]

Resultado

\[ \boxed{ \vec{w} = -5\vec{u} + 3\vec{v} } \]
8.3
Vectores fundamentales

Combinación lineal de la base cartesiana

Los vectores unitarios \(\vec{\imath}=(1,0)\) y \(\vec{\jmath}=(0,1)\) permiten expresar cualquier vector del plano.

\[ \vec{u} = (u_1,u_2) \]
\[ \vec{u} = u_1\vec{\imath} + u_2\vec{\jmath} \]
Ejemplo 4 · Base cartesiana

Expresa \(\vec{u}=(-3,5)\) como combinación lineal de \(\vec{\imath}\) y \(\vec{\jmath}\)

\[ \vec{u} = -3(1,0) + 5(0,1) \]
\[ \vec{u} = -3\vec{\imath} + 5\vec{\jmath} \]
\[ \boxed{ (-3,5) = -3\vec{\imath} + 5\vec{\jmath} } \]
8.4
Relación entre dos vectores

Dependencia e independencia lineal en el plano

Dos vectores del plano son linealmente dependientes cuando uno es múltiplo del otro. Geométricamente, esto significa que tienen la misma dirección.

Misma dirección Dependientes

Uno es múltiplo del otro

\[ \vec{v} = \lambda\vec{u} \]

Los dos vectores son paralelos.

Direcciones distintas Independientes

Ninguno es múltiplo del otro

Los vectores no son paralelos y permiten generar cualquier vector del plano mediante una combinación lineal.

i En este tema basta con reconocer que dos vectores paralelos son dependientes y dos vectores no paralelos son independientes.
Ejemplo 5 · Dependencia lineal

Estudia si los vectores \(\vec{u}=(2,-3)\) y \(\vec{v}=(-4,6)\) son linealmente dependientes

Paso 1. Buscamos un escalar \(\lambda\)

\[ \vec{v} = \lambda\vec{u} \]

Paso 2. Comparamos las primeras componentes

\[ -4 = 2\lambda \]
\[ \lambda=-2 \]

Paso 3. Comprobamos la segunda componente

\[ 6 = (-2)(-3) = 6 \]

Conclusión

\[ \vec{v} = -2\vec{u} \]
\[ \boxed{ \vec{u} \text{ y } \vec{v} \text{ son linealmente dependientes} } \]
Ejemplo 6 · Independencia lineal

Estudia si \(\vec{u}=(1,2)\) y \(\vec{v}=(3,1)\) son linealmente dependientes

Paso 1. Comparamos el cociente de las primeras componentes

\[ \frac{3}{1}=3 \]

Paso 2. Comparamos el cociente de las segundas componentes

\[ \frac{1}{2} \neq 3 \]

No existe un único escalar que transforme \(\vec{u}\) en \(\vec{v}\).

Conclusión

\[ \boxed{ \vec{u} \text{ y } \vec{v} \text{ son linealmente independientes} } \]
8.5
Antes de resolver

Errores frecuentes en combinaciones lineales

Error 1 No distribuir

El escalar multiplica las dos componentes

\[ \lambda(a,b) = (\lambda a,\lambda b) \]
Error 2 No igualar componentes

Una igualdad vectorial produce dos ecuaciones

\[ (a,b)=(c,d) \iff \begin{cases} a=c\\ b=d \end{cases} \]
Error 3 Confundir dependencia

Mismo módulo no implica dependencia

Para ser dependientes, uno de los vectores debe ser múltiplo exacto del otro.

Qué debes recordar

Una combinación lineal mezcla productos por escalares y sumas

Para encontrar los coeficientes de una combinación lineal, sustituimos las coordenadas, operamos e igualamos las componentes. El resultado es un sistema de ecuaciones.

01

Plantear

Escribimos el vector como suma de múltiplos de otros.

02

Igualar componentes

Obtenemos una ecuación por cada coordenada.

03

Resolver el sistema

Los valores obtenidos son los coeficientes de la combinación.

\[ \vec{w} = \lambda\vec{u} + \mu\vec{v} \] \[ \Longrightarrow \begin{cases} \lambda u_1+\mu v_1=w_1\\[4pt] \lambda u_2+\mu v_2=w_2 \end{cases} \]
09
Método de resolución

Estrategia general para resolver problemas con vectores

La mayoría de los problemas de vectores se resuelven correctamente si traducimos el enunciado a coordenadas, identificamos la operación necesaria y trabajamos componente a componente.

Paso 1 Identificar

Localiza los datos

Anota los puntos, vectores, módulos y relaciones que aparecen en el problema.

Distingue con claridad qué es conocido y qué debes calcular.

Paso 2 Traducir

Escribe las coordenadas

Si aparecen puntos, transforma los segmentos orientados en vectores.

\[ \overrightarrow{AB} = (x_B-x_A,\;y_B-y_A) \]
Paso 3 Elegir

Decide la operación

Determina si necesitas calcular un módulo, sumar, restar, multiplicar por un escalar o plantear una combinación lineal.

Paso 4 Operar

Trabaja por componentes

Opera siempre las primeras coordenadas entre sí y las segundas coordenadas entre sí.

\[ (a,b)\pm(c,d) = (a\pm c,\;b\pm d) \]
Paso 5 Revisar

Comprueba los signos

Revisa especialmente las restas, las coordenadas negativas y los cuadrados de números negativos.

\[ -(-a)=a, \qquad (-a)^2=a^2 \]
Paso 6 Interpretar

Explica el resultado

No termines únicamente con una pareja de números. Indica qué representa el vector obtenido o qué relación existe entre los vectores.

Árbol de decisión para problemas de vectores Esquema que relaciona los datos del problema con las operaciones habituales: coordenadas, módulo, equipolencia, suma, producto por un escalar y combinación lineal. ¿Qué datos aparecen? Puntos · vectores · módulos · relaciones Aparecen puntos Calcula AB Piden una longitud Calcula el módulo Comparan vectores Compara componentes Desplazamiento total Suma de vectores u + v Diferencia Resta de vectores u − v Múltiplos Producto por escalar λu Vector desconocido Despejar e igualar componentes Combinación lineal Plantear un sistema de dos ecuaciones

Antes de realizar cálculos, identifica qué tipo de relación plantea el problema. Esto evita aplicar fórmulas que no corresponden.

El problema pide… Operación principal Fórmula o idea
El vector entre dos puntos Restar coordenadas \[ \overrightarrow{AB} = (x_B-x_A,\;y_B-y_A) \]
Una longitud o distancia Calcular el módulo \[ |\vec{u}| = \sqrt{u_1^2+u_2^2} \]
Saber si dos vectores son iguales Comparar coordenadas \[ (a,b)=(c,d) \iff a=c,\;b=d \]
Un desplazamiento total Sumar vectores \[ (a,b)+(c,d) = (a+c,b+d) \]
Una diferencia de desplazamientos Restar vectores \[ (a,b)-(c,d) = (a-c,b-d) \]
Un vector proporcional Producto por escalar \[ \lambda(a,b) = (\lambda a,\lambda b) \]
Expresar un vector mediante otros Combinación lineal \[ \vec{w} = \lambda\vec{u} + \mu\vec{v} \]
9.1
Presentación y precisión

Cómo presentar una resolución en un examen

01

Escribe primero la fórmula

Antes de sustituir números, indica la expresión que vas a utilizar.

\[ \overrightarrow{AB} = (x_B-x_A,\;y_B-y_A) \]
02

No omitas los pasos intermedios

Los signos negativos deben verse con claridad para que el procedimiento pueda revisarse.

\[ 3-(-2)=3+2=5 \]
03

Destaca el resultado

Encierra la respuesta final y añade una interpretación cuando sea necesario.

\[ \boxed{\vec{u}=(4,-3)} \]
i En los ejercicios de geometría analítica, una resolución ordenada suele ser tan importante como el cálculo final. Escribe siempre qué vector estás calculando y qué representa.
9.2
Fallos habituales

Errores que debes evitar

Error 1 Orden incorrecto

Restar origen menos extremo

En \(\overrightarrow{AB}\) debemos calcular siempre \(B-A\).

\[ \overrightarrow{AB} \neq (x_A-x_B,\;y_A-y_B) \]
Error 2 Módulo

Olvidar elevar al cuadrado

\[ |\vec{u}| \neq \sqrt{u_1+u_2} \]

Las dos componentes deben elevarse al cuadrado.

Error 3 Componentes

Mezclar coordenadas

La primera componente se opera con la primera y la segunda con la segunda.

\[ (a,b)+(c,d) = (a+c,b+d) \]
Error 4 Escalares

Multiplicar solo una componente

\[ \lambda(a,b) = (\lambda a,\lambda b) \]

El escalar debe multiplicar a las dos coordenadas.

Error 5 Proporcionalidad

Comprobar solo una componente

El mismo escalar debe relacionar las dos componentes.

\[ v_1=\lambda u_1 \quad\text{y}\quad v_2=\lambda u_2 \]
Error 6 Interpretación

Terminar sin responder

Después de calcular, indica si los vectores son iguales, equipolentes, opuestos, dependientes o independientes.

Estrategia de examen

Traducir, operar y comprobar

Un problema de vectores resulta mucho más sencillo cuando cada paso se escribe de forma ordenada. La prioridad es convertir la información geométrica en coordenadas y elegir la operación adecuada.

01

Traduce

Convierte puntos y relaciones geométricas en coordenadas.

02

Opera

Trabaja componente a componente y controla los signos.

03

Comprueba

Sustituye el resultado y verifica que cumple el enunciado.

\[ \text{datos} \longrightarrow \text{coordenadas} \longrightarrow \text{operación} \longrightarrow \text{interpretación} \]
10
Síntesis del tema

Ejercicios globales resueltos

Los siguientes ejercicios combinan varios conceptos del tema. En cada resolución se identifica primero la operación necesaria y después se desarrolla el cálculo paso a paso.

Ejercicio global 1 · Coordenadas, módulo y vector opuesto

Dados los puntos \(A(-2,3)\) y \(B(4,-5)\):

  1. Calcula \(\overrightarrow{AB}\).
  2. Calcula su módulo.
  3. Determina las coordenadas de \(\overrightarrow{BA}\).

Apartado a. Coordenadas de \(\overrightarrow{AB}\)

Aplicamos la fórmula extremo menos origen:

\[ \overrightarrow{AB} = \left( 4-(-2),\; -5-3 \right) \]
\[ \overrightarrow{AB} = (6,-8) \]
\[ \boxed{ \overrightarrow{AB}=(6,-8) } \]

Apartado b. Módulo de \(\overrightarrow{AB}\)

\[ \left| \overrightarrow{AB} \right| = \sqrt{6^2+(-8)^2} \]
\[ \left| \overrightarrow{AB} \right| = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10 \]
\[ \boxed{ \left| \overrightarrow{AB} \right|=10 } \]

Apartado c. Coordenadas de \(\overrightarrow{BA}\)

\[ \overrightarrow{BA} = \left( -2-4,\; 3-(-5) \right) \]
\[ \overrightarrow{BA} = (-6,8) \]

Observamos que:

\[ \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} \]
\[ \boxed{ \overrightarrow{BA}=(-6,8) } \]
Ejercicio global 2 · Equipolencia y punto desconocido

Sean los puntos \(A(1,-2)\), \(B(5,3)\) y \(C(-4,1)\). Calcula el punto \(D\) para que \(\overrightarrow{CD}\) sea equipolente a \(\overrightarrow{AB}\).

Paso 1. Calculamos \(\overrightarrow{AB}\)

\[ \overrightarrow{AB} = \left( 5-1,\; 3-(-2) \right) \]
\[ \overrightarrow{AB} = (4,5) \]

Paso 2. Planteamos el punto desconocido

Sea:

\[ D(x,y) \]

Entonces:

\[ \overrightarrow{CD} = \left( x-(-4),\; y-1 \right) \]
\[ \overrightarrow{CD} = (x+4,\;y-1) \]

Paso 3. Imponemos la equipolencia

\[ (x+4,\;y-1) = (4,5) \]

Igualamos componentes:

\[ \begin{cases} x+4=4\\[4pt] y-1=5 \end{cases} \]

Paso 4. Resolvemos

\[ \begin{cases} x=0\\[4pt] y=6 \end{cases} \]
\[ \boxed{D(0,6)} \]

Comprobación

\[ \overrightarrow{CD} = \left( 0-(-4),\; 6-1 \right) = (4,5) = \overrightarrow{AB} \]
Ejercicio global 3 · Operaciones combinadas

Sean \[ \vec{u}=(2,-3), \qquad \vec{v}=(-1,4), \qquad \vec{w}=(5,2). \] Calcula: \[ 3\vec{u}-2\vec{v}+\vec{w} \]

Paso 1. Calculamos \(3\vec{u}\)

\[ 3\vec{u} = 3(2,-3) = (6,-9) \]

Paso 2. Calculamos \(2\vec{v}\)

\[ 2\vec{v} = 2(-1,4) = (-2,8) \]

Paso 3. Sustituimos en la expresión

\[ 3\vec{u}-2\vec{v}+\vec{w} = (6,-9)-(-2,8)+(5,2) \]

Paso 4. Operamos las primeras componentes

\[ 6-(-2)+5 = 6+2+5 = 13 \]

Paso 5. Operamos las segundas componentes

\[ -9-8+2 = -15 \]

Resultado

\[ \boxed{ 3\vec{u}-2\vec{v}+\vec{w} = (13,-15) } \]
Ejercicio global 4 · Vector unitario

Calcula un vector unitario con la misma dirección y el mismo sentido que \[ \vec{u}=(6,8) \]

Para obtener un vector unitario con la misma dirección y sentido, dividimos el vector entre su módulo.

Paso 1. Calculamos el módulo de \(\vec{u}\)

\[ |\vec{u}| = \sqrt{6^2+8^2} \]
\[ |\vec{u}| = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10 \]

Paso 2. Dividimos el vector por su módulo

\[ \frac{\vec{u}}{|\vec{u}|} = \frac{1}{10}(6,8) \]
\[ \frac{\vec{u}}{|\vec{u}|} = \left( \frac{6}{10}, \frac{8}{10} \right) \]
\[ \frac{\vec{u}}{|\vec{u}|} = \left( \frac35, \frac45 \right) \]

Comprobación del módulo

\[ \sqrt{ \left(\frac35\right)^2+ \left(\frac45\right)^2 } = \sqrt{ \frac9{25}+ \frac{16}{25} } = \sqrt{1} = 1 \]
\[ \boxed{ \vec{e} = \left( \frac35, \frac45 \right) } \]
Ejercicio global 5 · Dependencia lineal

Determina el valor de \(a\) para que los vectores \[ \vec{u}=(2,3) \qquad\text{y}\qquad \vec{v}=(a,12) \] sean linealmente dependientes.

Dos vectores son linealmente dependientes cuando uno es múltiplo del otro.

Paso 1. Planteamos la proporcionalidad

\[ \vec{v} = \lambda\vec{u} \]
\[ (a,12) = \lambda(2,3) \]

Paso 2. Igualamos las segundas componentes

\[ 12=3\lambda \]
\[ \lambda=4 \]

Paso 3. Utilizamos la primera componente

\[ a=2\lambda \]
\[ a=2\cdot4=8 \]

Resultado

\[ \boxed{a=8} \]

Comprobación

\[ \vec{v} = (8,12) = 4(2,3) = 4\vec{u} \]
Ejercicio global 6 · Combinación lineal

Expresa el vector \[ \vec{w}=(8,1) \] como combinación lineal de \[ \vec{u}=(2,1) \qquad\text{y}\qquad \vec{v}=(1,-1). \]

Buscamos dos números reales \(\lambda\) y \(\mu\) que cumplan:

\[ \vec{w} = \lambda\vec{u} + \mu\vec{v} \]

Paso 1. Sustituimos las coordenadas

\[ (8,1) = \lambda(2,1) + \mu(1,-1) \]

Paso 2. Multiplicamos cada vector por su escalar

\[ (8,1) = (2\lambda,\lambda) + (\mu,-\mu) \]

Paso 3. Sumamos las componentes

\[ (8,1) = (2\lambda+\mu,\;\lambda-\mu) \]

Paso 4. Igualamos las componentes

\[ \begin{cases} 2\lambda+\mu=8\\[4pt] \lambda-\mu=1 \end{cases} \]

Paso 5. Resolvemos el sistema

De la segunda ecuación:

\[ \mu=\lambda-1 \]

Sustituimos en la primera ecuación:

\[ 2\lambda+(\lambda-1)=8 \]
\[ 3\lambda-1=8 \]
\[ 3\lambda=9 \]
\[ \lambda=3 \]

Calculamos ahora \(\mu\):

\[ \mu=3-1=2 \]

Resultado

\[ \boxed{ \vec{w} = 3\vec{u} + 2\vec{v} } \]

Comprobación

\[ 3(2,1)+2(1,-1) = (6,3)+(2,-2) = (8,1) \]
Ejercicio global 7 · Punto medio y vectores

Dados los puntos \[ A(-3,2) \qquad\text{y}\qquad B(5,8), \] calcula:

  1. El punto medio \(M\) del segmento \(AB\).
  2. Los vectores \(\overrightarrow{AM}\) y \(\overrightarrow{MB}\).
  3. Comprueba la relación entre ambos vectores.

Apartado a. Cálculo del punto medio

Las coordenadas del punto medio se obtienen calculando la media de las coordenadas de los extremos.

\[ M = \left( \frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2} \right) \]
\[ M = \left( \frac{-3+5}{2}, \frac{2+8}{2} \right) \]
\[ M = \left( \frac{2}{2}, \frac{10}{2} \right) = (1,5) \]
\[ \boxed{M(1,5)} \]

Apartado b. Cálculo de \(\overrightarrow{AM}\)

\[ \overrightarrow{AM} = \left( 1-(-3),\; 5-2 \right) \]
\[ \overrightarrow{AM} = (4,3) \]

Cálculo de \(\overrightarrow{MB}\)

\[ \overrightarrow{MB} = (5-1,\;8-5) \]
\[ \overrightarrow{MB} = (4,3) \]

Apartado c. Comparación

\[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB} \]
\[ \boxed{ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB} = (4,3) } \]

Los dos vectores son equipolentes. Esto confirma que \(M\) divide el segmento \(AB\) en dos partes iguales.

Ejercicio global 8 · Problema completo

Sean los puntos \[ A(1,2), \qquad B(6,4), \qquad C(-2,5). \] Calcula el punto \(D\) para que el cuadrilátero \(ABDC\) sea un paralelogramo.

En el paralelogramo \(ABDC\), los lados opuestos deben estar representados por vectores equipolentes.

\[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \]

Paso 1. Calculamos \(\overrightarrow{AB}\)

\[ \overrightarrow{AB} = (6-1,\;4-2) \]
\[ \overrightarrow{AB} = (5,2) \]

Paso 2. Escribimos el punto desconocido

\[ D(x,y) \]

Entonces:

\[ \overrightarrow{CD} = \left( x-(-2),\; y-5 \right) \]
\[ \overrightarrow{CD} = (x+2,\;y-5) \]

Paso 3. Igualamos los vectores

\[ (x+2,\;y-5) = (5,2) \]
\[ \begin{cases} x+2=5\\[4pt] y-5=2 \end{cases} \]

Paso 4. Resolvemos

\[ \begin{cases} x=3\\[4pt] y=7 \end{cases} \]
\[ \boxed{D(3,7)} \]

Comprobación mediante el otro par de lados

\[ \overrightarrow{AC} = (-2-1,\;5-2) = (-3,3) \]
\[ \overrightarrow{BD} = (3-6,\;7-4) = (-3,3) \]
\[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD} \]

Los dos pares de lados opuestos están representados por vectores equipolentes, por lo que el cuadrilátero es un paralelogramo.

11
Organización del aprendizaje

Cómo estudiar vectores y operaciones

Este tema combina interpretación geométrica y cálculo algebraico. Para dominarlo no basta con memorizar fórmulas: debes entender qué desplazamiento representa cada pareja de coordenadas.

Fase 1 Comprender

Relaciona dibujo y coordenadas

Dibuja vectores sencillos y comprueba cómo cambia el desplazamiento según el signo de sus componentes.

  • Primera componente: movimiento horizontal.
  • Segunda componente: movimiento vertical.
  • Signo: orientación del desplazamiento.
Fase 2 Automatizar

Practica las operaciones básicas

Debes ser capaz de realizar con seguridad y sin dudas:

  • Coordenadas entre dos puntos.
  • Módulo de un vector.
  • Suma y resta.
  • Producto por un escalar.
Fase 3 Integrar

Resuelve problemas combinados

Cuando controles las operaciones aisladas, trabaja ejercicios en los que tengas que elegir por ti mismo qué procedimiento utilizar.

  • Puntos desconocidos.
  • Equipolencia.
  • Paralelogramos.
  • Combinaciones lineales.
11.1
Rutina recomendada

Plan de estudio en cuatro sesiones

Sesión Contenidos Objetivo
Sesión 1 Concepto de vector, módulo, dirección, sentido y coordenadas Interpretar correctamente un vector en el plano.
Sesión 2 Coordenadas entre puntos, módulo, distancia y equipolencia Traducir problemas geométricos a coordenadas.
Sesión 3 Suma, resta y producto por un escalar Operar con seguridad componente a componente.
Sesión 4 Combinaciones lineales y problemas globales Elegir el método adecuado sin recibir indicaciones.
11.2
Lista de comprobación

¿Dominas realmente el tema?

✓

Conceptos

  • Distingo módulo, dirección y sentido.
  • Comprendo qué significa cada componente.
  • Reconozco vectores iguales, opuestos y equipolentes.
  • Identifico vectores dependientes e independientes.
✓

Procedimientos

  • Calculo \(\overrightarrow{AB}\) sin cambiar el orden.
  • Obtengo el módulo y simplifico el radical.
  • Sumo y resto vectores con signos negativos.
  • Resuelvo combinaciones lineales mediante sistemas.
Cómo estudiar

No memorices coordenadas: visualiza desplazamientos

Cada vector representa un movimiento. Cuando entiendes qué ocurre en horizontal y en vertical, las fórmulas dejan de ser reglas aisladas y se convierten en una traducción natural del dibujo.

01

Dibuja

Representa los vectores más sencillos en una cuadrícula.

02

Calcula

Trabaja componente a componente y escribe los signos.

03

Interpreta

Explica siempre qué significa el vector obtenido.

\[ \text{dibujo} \longleftrightarrow \text{coordenadas} \longleftrightarrow \text{operaciones} \]
12
Síntesis de contenidos

Resumen final del tema

Estas son las ideas y fórmulas fundamentales que debes dominar antes de pasar al siguiente tema.

\(\vec{u}\)

Vector

Un vector queda determinado por su módulo, dirección y sentido.

\((u_1,u_2)\)

Coordenadas

Indican el desplazamiento horizontal y vertical.

\(|\vec{u}|\)

Módulo

Representa la longitud del vector.

\(\sim\)

Equipolencia

Dos vectores fijos son equipolentes si tienen las mismas coordenadas.

\(+\)

Operaciones

La suma, la resta y el producto por escalares se realizan por componentes.

\(\lambda\vec{u}+\mu\vec{v}\)

Combinación lineal

Permite construir un vector a partir de múltiplos de otros.

12.1
Formulario esencial

Fórmulas fundamentales

Concepto Fórmula Uso
Vector entre dos puntos \[ \overrightarrow{AB} = (x_B-x_A,\;y_B-y_A) \] Obtener el desplazamiento desde \(A\) hasta \(B\).
Módulo de un vector \[ |\vec{u}| = \sqrt{u_1^2+u_2^2} \] Calcular la longitud del vector.
Distancia entre dos puntos \[ d(A,B) = \sqrt{ (x_B-x_A)^2+ (y_B-y_A)^2 } \] Medir la distancia entre \(A\) y \(B\).
Igualdad de vectores \[ (u_1,u_2)=(v_1,v_2) \iff \begin{cases} u_1=v_1\\ u_2=v_2 \end{cases} \] Comparar dos vectores.
Vector opuesto \[ -\vec{u} = (-u_1,-u_2) \] Mantener módulo y dirección, cambiando el sentido.
Suma \[ \vec{u}+\vec{v} = (u_1+v_1,\;u_2+v_2) \] Combinar desplazamientos.
Resta \[ \vec{u}-\vec{v} = (u_1-v_1,\;u_2-v_2) \] Sumar al primer vector el opuesto del segundo.
Producto por un escalar \[ \lambda\vec{u} = (\lambda u_1,\;\lambda u_2) \] Modificar el módulo y, si \(\lambda<0\), el sentido.
Módulo de un múltiplo \[ |\lambda\vec{u}| = |\lambda|\cdot|\vec{u}| \] Relacionar la longitud de vectores proporcionales.
Combinación lineal \[ \vec{w} = \lambda\vec{u} + \mu\vec{v} \] Expresar un vector a partir de otros.
Vector unitario \[ \vec{e} = \frac{\vec{u}}{|\vec{u}|} \] Obtener un vector de módulo uno con la misma dirección y sentido.
Punto medio \[ M = \left( \frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2} \right) \] Dividir el segmento \(AB\) en dos partes iguales.
Resumen del tema

Un vector es una forma algebraica de describir un desplazamiento

Las coordenadas indican cuánto avanzamos en horizontal y vertical. A partir de ellas podemos calcular longitudes, comparar vectores, combinar movimientos y construir nuevos vectores.

01

Representar

Un vector se expresa mediante una pareja ordenada.

02

Operar

Las operaciones se realizan componente a componente.

03

Interpretar

El resultado debe relacionarse con el desplazamiento geométrico.

04

Comparar

Las coordenadas permiten reconocer igualdad y proporcionalidad.

05

Construir

Las combinaciones lineales generan nuevos vectores.

06

Comprobar

Sustituir el resultado confirma que cumple las condiciones.

\[ \boxed{ \overrightarrow{AB} = (x_B-x_A,\;y_B-y_A) } \] \[ \boxed{ |\vec{u}| = \sqrt{u_1^2+u_2^2} } \] \[ \boxed{ \lambda\vec{u}+\mu\vec{v} = (\lambda u_1+\mu v_1,\; \lambda u_2+\mu v_2) } \]
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