Calcula el límite: \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{2x+1}-3}\)

Resolución paso a paso

Identificación de la indeterminación: Al sustituir \(x\to+\infty\), el numerador y el denominador crecen en valor absoluto sin límite, por lo que obtenemos \(\frac{\infty}{\infty}\). Para resolverla, dividimos numerador y denominador entre \(\sqrt{x}\):

\[
\frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{2x+1}-3}
=\frac{\frac2{\sqrt{x}}-1}
{\sqrt{2+\frac1x}-\frac3{\sqrt{x}}}.
\]

Cuando \(x\to+\infty\):

\[
\frac2{\sqrt{x}}\to0,
\qquad
\frac3{\sqrt{x}}\to0,
\qquad
\sqrt{2+\frac1x}\to\sqrt2.
\]

Por tanto:

\[
\frac{0-1}{\sqrt2-0}
=-\frac1{\sqrt2}.
\]

Resultado:

\[
\boxed{-\frac1{\sqrt2}}
\]