Demuestra: \(\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{\cot\alpha+\cot\beta}=\tan\alpha\cdot\tan\beta\)

Resolución paso a paso

Expresamos todas las razones mediante senos y cosenos:

\[
\frac{\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\dfrac{\sin\beta}{\cos\beta}}
{\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}+\dfrac{\cos\beta}{\sin\beta}}.
\]

Reducimos a común denominador el numerador y el denominador:

\[
\frac{\dfrac{\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha}{\cos\alpha\cos\beta}}
{\dfrac{\cos\alpha\sin\beta+\cos\beta\sin\alpha}{\sin\alpha\sin\beta}}.
\]

Las sumas que aparecen en ambos son iguales. Dividir por una fracción equivale a multiplicar por su inversa:

\[
\frac{\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha}{\cos\alpha\cos\beta}
\cdot
\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha}
=\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}.
\]

Separamos el producto:

\[
\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\sin\beta}{\cos\beta}
=\tan\alpha\cdot\tan\beta.
\]

Por tanto,

\[
\boxed{\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{\cot\alpha+\cot\beta}
=\tan\alpha\cdot\tan\beta}.
\]