Demuestra: \(\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}=\frac{\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\)
Matemáticas 1 · 1º Bachillerato
Ficha del problema
Enunciado
Demuestra la siguiente identidad:
\[
\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}=\frac{\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}
\]
🟣 Resolución paso a paso
Resolución paso a paso
Partimos del segundo miembro y expresamos la tangente mediante seno y coseno:
\[
\frac{\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}
=\frac{\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}
{1-\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}.
\]
Reducimos el denominador a una sola fracción:
\[
1-\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}
=\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}.
\]
Dividimos por esa fracción:
\[
\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}
\cdot
\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}
=\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}.
\]
Por tanto,
\[
\boxed{\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}
=\frac{\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}}.
\]