Demuestra: \(\frac{\sin\alpha+\tan\alpha}{1+\sec\alpha}=\sin\alpha\)

Resolución paso a paso

Expresamos la tangente y la secante mediante seno y coseno:

\[
\frac{\sin\alpha+\tan\alpha}{1+\sec\alpha}
=\frac{\sin\alpha+\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}
{1+\dfrac{1}{\cos\alpha}}.
\]

Reducimos a común denominador el numerador y el denominador:

\[
\frac{\dfrac{\sin\alpha\left(\cos\alpha+1\right)}{\cos\alpha}}
{\dfrac{\cos\alpha+1}{\cos\alpha}}.
\]

Dividimos las fracciones y simplificamos los factores comunes:

\[
\frac{\sin\alpha\left(\cos\alpha+1\right)}{\cos\alpha}
\cdot
\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha+1}
=\sin\alpha.
\]

Así,

\[
\boxed{\frac{\sin\alpha+\tan\alpha}{1+\sec\alpha}=\sin\alpha}.
\]