Simplifica: \(\frac{1}{(\sin\alpha+\cos\alpha)^2-1}:\frac{1+\tan^2\alpha}{\sec\alpha\cdot\tan\alpha}\)

Resolución paso a paso

Simplificamos primero la primera fracción. Desarrollamos el cuadrado:

\[
(\sin\alpha+\cos\alpha)^2-1
=\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha-1.
\]

Como \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), queda:

\[
(\sin\alpha+\cos\alpha)^2-1=2\sin\alpha\cos\alpha.
\]

Por tanto, la primera fracción es:

\[
\frac{1}{2\sin\alpha\cos\alpha}.
\]

En la segunda fracción usamos \(1+\tan^2\alpha=\sec^2\alpha\):

\[
\frac{1+\tan^2\alpha}{\sec\alpha\cdot\tan\alpha}
=\frac{\sec^2\alpha}{\sec\alpha\cdot\tan\alpha}
=\frac{\sec\alpha}{\tan\alpha}
=\frac{1}{\sin\alpha}.
\]

Ahora efectuamos la división:

\[
\frac{1}{2\sin\alpha\cos\alpha}:\frac{1}{\sin\alpha}
=\frac{1}{2\sin\alpha\cos\alpha}\cdot\sin\alpha
=\frac{1}{2\cos\alpha}.
\]

Finalmente,

\[
\boxed{\frac{\sec\alpha}{2}}.
\]