PropiaGeometríaIdentidades trigonométricasDifícil
Simplifica: \(\frac{\sin^2\alpha\left(1+\cot^2\alpha\right)+\cos^2\alpha\left(1+\tan^2\alpha\right)}{\cos^2\alpha\left(\sec^2\alpha-\tan^2\alpha\right)+\sin^2\alpha\left(\csc^2\alpha-\cot^2\alpha\right)}\)
Matemáticas 1 · 1º Bachillerato
Ficha del problema
Nivel
1º Bachillerato
Asignatura
Matemáticas 1
Bloque
Geometría
Tema
Identidades trigonométricas
Fuente
Propia
Dificultad
Difícil
Tipo
Cálculo directo
Enunciado
Simplifica la siguiente expresión:
\[
\frac{\sin^2\alpha\left(1+\cot^2\alpha\right)+\cos^2\alpha\left(1+\tan^2\alpha\right)}{\cos^2\alpha\left(\sec^2\alpha-\tan^2\alpha\right)+\sin^2\alpha\left(\csc^2\alpha-\cot^2\alpha\right)}
\]
🟣 Resolución paso a paso
Resolución paso a paso
Aplicamos en el numerador las identidades:
\[
1+\cot^2\alpha=\csc^2\alpha,
\qquad
1+\tan^2\alpha=\sec^2\alpha.
\]
Así, el numerador se transforma en:
\[
\sin^2\alpha\csc^2\alpha+\cos^2\alpha\sec^2\alpha
=1+1=2.
\]
En el denominador usamos:
\[
\sec^2\alpha-\tan^2\alpha=1,
\qquad
\csc^2\alpha-\cot^2\alpha=1.
\]
Por tanto, el denominador es:
\[
\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1.
\]
La expresión completa queda:
\[
\frac{2}{1}=\boxed{2}.
\]