Matemáticas I · Trigonometría y geometría · Tema 08

Producto escalar

Comprende el producto escalar desde sus dos definiciones, calcula ángulos entre vectores, reconoce la perpendicularidad, obtiene proyecciones y resuelve aplicaciones métricas del plano.

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Una operación que relaciona vectores, longitudes y ángulos

El producto escalar transforma dos vectores en un número real. Ese número permite saber si los vectores apuntan en direcciones parecidas, opuestas o perpendiculares, y sirve para resolver problemas métricos sin depender exclusivamente de dibujos.

1Calcular productos escalares

2Obtener ángulos y perpendicularidad

3Usar proyecciones y aplicaciones métricas

Significado geométrico

Definición geométrica del producto escalar

El producto escalar de dos vectores es el número que se obtiene multiplicando sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

\[ \boxed{\vec u\cdot\vec v=|\vec u|\,|\vec v|\cos\alpha} \]

\(|\vec u|\)

Módulo del primer vector

Mide la longitud del vector \(\vec u\).

\(|\vec v|\)

Módulo del segundo vector

Mide la longitud del vector \(\vec v\).

\(\cos\alpha\)

Orientación relativa

Introduce en el cálculo el ángulo \(\alpha\) comprendido entre ambos vectores.

Producto escalar positivo

Si \(0^\circ\leq\alpha<90^\circ\), entonces \(\cos\alpha>0\).

\[\vec u\cdot\vec v>0\]

Producto escalar nulo

Si \(\alpha=90^\circ\), entonces \(\cos\alpha=0\).

\[\vec u\cdot\vec v=0\]

Producto escalar negativo

Si \(90^\circ<\alpha\leq180^\circ\), entonces \(\cos\alpha<0\).

\[\vec u\cdot\vec v<0\]

Vectores con la misma dirección

Si apuntan en el mismo sentido, \(\alpha=0^\circ\) y \(\cos\alpha=1\).

\[\vec u\cdot\vec v=|\vec u|\,|\vec v|\]

iEl resultado del producto escalar es un número, no un vector. Esta es una diferencia esencial respecto de la suma de vectores o el producto de un vector por un número.

Ejemplo 1 · Definición geométrica

Calcula \(\vec u\cdot\vec v\) sabiendo que \(|\vec u|=4\), \(|\vec v|=3\) y que forman un ángulo de \(60^\circ\)

Aplicamos directamente la definición:

\[ \vec u\cdot\vec v=4\cdot3\cdot\cos60^\circ \]

\[ \vec u\cdot\vec v=12\cdot\frac12=\boxed{6} \]

Cálculo mediante coordenadas

Definición analítica y propiedades

Cuando conocemos las coordenadas de los vectores, el producto escalar se calcula multiplicando las componentes correspondientes y sumando los resultados.

\[ \vec u=(u_1,u_2),\quad \vec v=(v_1,v_2) \]

\[ \boxed{\vec u\cdot\vec v=u_1v_1+u_2v_2} \]

Ejemplo 2 · Cálculo analítico

Calcula el producto escalar de \(\vec u=(3,-2)\) y \(\vec v=(4,5)\)

\[ \vec u\cdot\vec v=3\cdot4+(-2)\cdot5 \]

\[ \vec u\cdot\vec v=12-10=\boxed{2} \]

Producto escalar de un vector por sí mismo

Si multiplicamos un vector por sí mismo, el ángulo es \(0^\circ\), por lo que obtenemos el cuadrado de su módulo.

\[ \boxed{\vec u\cdot\vec u=|\vec u|^2} \]

\[ |\vec u|=\sqrt{\vec u\cdot\vec u}=\sqrt{u_1^2+u_2^2} \]

Ejemplo 3 · Recuperar el módulo

Calcula el módulo de \(\vec u=(5,-12)\) utilizando el producto escalar

\[ \vec u\cdot\vec u=5^2+(-12)^2=25+144=169 \]

\[ |\vec u|=\sqrt{169}=\boxed{13} \]

Propiedad	Expresión	Interpretación
Conmutativa	\(\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u\)	El orden de los vectores no modifica el resultado.
Distributiva	\(\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w\)	Se distribuye respecto de la suma.
Compatibilidad con escalares	\((k\vec u)\cdot\vec v=k(\vec u\cdot\vec v)\)	El número puede salir fuera del producto escalar.
Positividad	\(\vec u\cdot\vec u\geq0\)	Solo vale cero cuando \(\vec u=\vec0\).

Orientación relativa

Ángulo entre dos vectores

Igualando las definiciones geométrica y analítica podemos despejar el coseno del ángulo que forman dos vectores no nulos.

\[ \boxed{\cos\alpha=\frac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u|\,|\vec v|}} \]

\[ \boxed{\alpha=\arccos\left(\frac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u|\,|\vec v|}\right)} \]

Procedimiento4 pasos

Cómo calcular el ángulo

Calcula \(\vec u\cdot\vec v\).
Calcula \(|\vec u|\) y \(|\vec v|\).
Sustituye en la fórmula del coseno.
Aplica \(\arccos\) y expresa el resultado en grados.

Ejemplo 4 · Ángulo entre vectores

Calcula el ángulo que forman \(\vec u=(1,2)\) y \(\vec v=(3,1)\)

1. Producto escalar:

\[ \vec u\cdot\vec v=1\cdot3+2\cdot1=5 \]

2. Módulos:

\[ |\vec u|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5,\qquad |\vec v|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10} \]

3. Coseno del ángulo:

\[ \cos\alpha=\frac{5}{\sqrt5\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2} \]

4. Ángulo:

\[ \alpha=\arccos\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)=\boxed{45^\circ} \]

iEl ángulo entre dos vectores se toma siempre entre \(0^\circ\) y \(180^\circ\). Si se pide el ángulo entre dos rectas, normalmente se elige el menor de los dos ángulos que determinan.

Ortogonalidad

Perpendicularidad de vectores

Dos vectores no nulos son perpendiculares cuando forman un ángulo de \(90^\circ\). Como \(\cos90^\circ=0\), su producto escalar es nulo.

\[ \boxed{\vec u\perp\vec v\Longleftrightarrow\vec u\cdot\vec v=0} \]

\[ \boxed{u_1v_1+u_2v_2=0} \]

\(0\)

Criterio directo

Multiplica componentes correspondientes y suma. Si el resultado es cero, los vectores son perpendiculares.

\(\perp\)

Vector perpendicular

Si \(\vec u=(a,b)\), dos vectores perpendiculares son \((-b,a)\) y \((b,-a)\).

Ejemplo 5 · Comprobar perpendicularidad

Comprueba si \(\vec u=(2,3)\) y \(\vec v=(-6,4)\) son perpendiculares

\[ \vec u\cdot\vec v=2(-6)+3\cdot4=-12+12=0 \]

\[ \boxed{\vec u\perp\vec v} \]

Ejemplo 6 · Parámetro y perpendicularidad

Determina \(m\) para que \((m,2)\) sea perpendicular a \((3,-6)\)

Imponemos que el producto escalar sea cero:

\[ (m,2)\cdot(3,-6)=0 \]

\[ 3m-12=0\quad\Longrightarrow\quad \boxed{m=4} \]

Comprobación: \((4,2)\cdot(3,-6)=12-12=0\).

Descomponer un vector

Proyecciones

La proyección permite medir qué parte de un vector actúa en la dirección de otro. Distinguimos la proyección escalar y la proyección vectorial.

Longitud con signoProyección escalar

Componente de \(\vec u\) sobre \(\vec v\)

\[ \boxed{\operatorname{comp}_{\vec v}(\vec u)=\frac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec v|}} \]

El signo indica si la componente tiene el mismo sentido que \(\vec v\) o el contrario.

VectorProyección vectorial

Proyección de \(\vec u\) sobre \(\vec v\)

\[ \boxed{\operatorname{proy}_{\vec v}(\vec u)=\frac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec v|^2}\,\vec v} \]

El resultado es un vector paralelo a \(\vec v\).

iEl vector sobre el que proyectamos aparece en el denominador. En \(\operatorname{proy}_{\vec v}(\vec u)\), el vector de referencia es \(\vec v\).

Ejemplo 7 · Proyección escalar y vectorial

Calcula la proyección de \(\vec u=(4,3)\) sobre \(\vec v=(2,0)\)

1. Producto escalar y módulo:

\[ \vec u\cdot\vec v=4\cdot2+3\cdot0=8,\qquad |\vec v|=2 \]

2. Proyección escalar:

\[ \operatorname{comp}_{\vec v}(\vec u)=\frac82=\boxed{4} \]

3. Proyección vectorial:

\[ \operatorname{proy}_{\vec v}(\vec u)=\frac{8}{2^2}(2,0)=2(2,0)=\boxed{(4,0)} \]

La componente perpendicular restante es \((4,3)-(4,0)=(0,3)\).

Ejemplo 8 · Descomposición ortogonal

Descompón \(\vec u=(5,1)\) en una componente paralela y otra perpendicular a \(\vec v=(1,2)\)

1. Componente paralela:

\[ \vec u\cdot\vec v=5\cdot1+1\cdot2=7,\qquad |\vec v|^2=1^2+2^2=5 \]

\[ \vec u_{\parallel}=\operatorname{proy}_{\vec v}(\vec u)=\frac75(1,2)=\left(\frac75,\frac{14}{5}\right) \]

2. Componente perpendicular:

\[ \vec u_{\perp}=\vec u-\vec u_{\parallel} =\left(5,1\right)-\left(\frac75,\frac{14}{5}\right) =\left(\frac{18}{5},-\frac95\right) \]

3. Comprobación:

\[ \left(\frac{18}{5},-\frac95\right)\cdot(1,2)=\frac{18}{5}-\frac{18}{5}=0 \]

Geometría métrica

Aplicaciones métricas

El producto escalar permite resolver problemas de longitudes, diagonales, ángulos y alturas combinando propiedades vectoriales con la geometría elemental.

\(d\)

Distancias

Si \(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)\), entonces:

\[AB=|\overrightarrow{AB}|\]

\(\alpha\)

Ángulos

El ángulo de dos lados se calcula mediante sus vectores directores.

\[\cos\alpha=\frac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u||\vec v|}\]

\(h\)

Alturas y componentes

Una proyección permite separar una longitud en componentes paralela y perpendicular.

Ejemplo 9 · Clasificar un triángulo

Dados \(A=(0,0)\), \(B=(4,1)\) y \(C=(1,3)\), determina si el ángulo \(A\) es agudo, recto u obtuso

Formamos los vectores que parten de \(A\):

\[ \overrightarrow{AB}=(4,1),\qquad \overrightarrow{AC}=(1,3) \]

\[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\cdot1+1\cdot3=7>0 \]

\[ \boxed{\widehat A\text{ es agudo}} \]

Ejemplo 10 · Diagonal de un paralelogramo

Dos lados de un paralelogramo son \(\vec u=(3,1)\) y \(\vec v=(1,2)\). Calcula la longitud de la diagonal \(\vec u+\vec v\)

\[ |\vec u+\vec v|^2=(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u+\vec v) \]

\[ |\vec u+\vec v|^2=|\vec u|^2+|\vec v|^2+2\vec u\cdot\vec v \]

Calculamos:

\[ |\vec u|^2=10,\qquad |\vec v|^2=5,\qquad \vec u\cdot\vec v=5 \]

\[ |\vec u+\vec v|^2=10+5+2\cdot5=25 \]

\[ \boxed{|\vec u+\vec v|=5} \]

Ejemplo 11 · Trabajo de una fuerza

Una fuerza constante \(\vec F=(6,8)\,\text{N}\) desplaza un objeto según \(\vec d=(3,0)\,\text{m}\). Calcula el trabajo realizado

El trabajo de una fuerza constante es el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento:

\[ W=\vec F\cdot\vec d \]

\[ W=6\cdot3+8\cdot0=\boxed{18\ \text{J}} \]

La componente vertical de la fuerza no realiza trabajo porque es perpendicular al desplazamiento.

Elegir la fórmula adecuada

Estrategia general y ejercicios globales

Antes de empezar, identifica los datos y la incógnita. El producto escalar puede aparecer como operación directa, criterio de perpendicularidad, fórmula del ángulo o instrumento para proyectar.

Tipo 1Coordenadas

Calcular un producto

Multiplica componentes correspondientes.
Suma los dos productos.
Interpreta el signo.

Tipo 2Ángulo

Hallar la orientación

Calcula el producto escalar.
Calcula los módulos.
Usa \(\arccos\).

Tipo 3Perpendicularidad

Imponer ortogonalidad

Plantea \(\vec u\cdot\vec v=0\).
Resuelve la ecuación.
Comprueba el valor.

Tipo 4Proyección

Separar componentes

Identifica el vector de referencia.
Calcula producto y módulo.
Aplica la fórmula correcta.

Ejercicio global 1 · Parámetro y ángulo

Determina \(m\) para que los vectores \((m,1)\) y \((2,-4)\) formen un ángulo recto

\[ (m,1)\cdot(2,-4)=0 \]

\[ 2m-4=0\quad\Longrightarrow\quad\boxed{m=2} \]

Ejercicio global 2 · Ángulo exacto

Calcula el ángulo entre \(\vec u=(2,0)\) y \(\vec v=(1,\sqrt3)\)

\[ \vec u\cdot\vec v=2,\qquad |\vec u|=2,\qquad |\vec v|=2 \]

\[ \cos\alpha=\frac{2}{2\cdot2}=\frac12 \]

\[ \boxed{\alpha=60^\circ} \]

Ejercicio global 3 · Proyección y componente perpendicular

Calcula las componentes paralela y perpendicular de \(\vec u=(3,4)\) respecto de \(\vec v=(1,0)\)

\[ \operatorname{proy}_{\vec v}(\vec u)=\frac{(3,4)\cdot(1,0)}{|(1,0)|^2}(1,0)=3(1,0)=(3,0) \]

\[ \vec u_{\perp}=\vec u-\vec u_{\parallel}=(3,4)-(3,0)=(0,4) \]

\[ \boxed{\vec u=(3,0)+(0,4)} \]

Qué debes recordar

El producto escalar conecta coordenadas, módulos y ángulos

Con una sola operación podemos decidir la orientación relativa de dos vectores, comprobar perpendicularidad, calcular ángulos y obtener componentes paralelas a una dirección.

Definición geométrica\(\vec u\cdot\vec v=|\vec u||\vec v|\cos\alpha\).

Definición analítica\(u_1v_1+u_2v_2\).

PerpendicularidadProducto escalar igual a cero.

ProyecciónComponente de un vector en la dirección de otro.

Errores frecuentes

Dar un vector como resultadoEl producto escalar de dos vectores es siempre un número real.

Olvidar un signo negativoMultiplica con cuidado las componentes, especialmente cuando alguna es negativa.

Dividir por módulos sin multiplicarlosEn la fórmula del ángulo aparece el producto \(|\vec u||\vec v|\).

Confundir cero con paralelismoProducto escalar cero significa perpendicularidad, no proporcionalidad.

Proyectar sobre el vector equivocadoEl vector de referencia determina el denominador y la dirección del resultado.

Usar grados y radianes incorrectamenteComprueba que la calculadora esté en modo DEG cuando el resultado se pide en grados.

Resumen del tema

El producto escalar de dos vectores puede calcularse mediante sus módulos y el coseno del ángulo, o mediante sus coordenadas. Si vale cero, los vectores son perpendiculares. La fórmula del coseno permite obtener el ángulo entre ellos y las proyecciones permiten descomponer un vector en componentes paralela y perpendicular a una dirección.

Antes de continuar

Calculo productos escalares por coordenadas.
Relaciono el signo con el tipo de ángulo.
Obtengo ángulos entre vectores.
Compruebo perpendicularidad.
Calculo proyecciones y componentes.