Posición relativa de rectas
Aprende a decidir si dos rectas son coincidentes, paralelas, secantes o perpendiculares utilizando vectores directores, pendientes y sistemas de ecuaciones.
Comparar dos rectas es comparar su dirección y sus puntos
La dirección permite distinguir entre rectas paralelas y secantes. Después, un punto común o la compatibilidad del sistema permite separar las rectas paralelas de las coincidentes y hallar el punto de corte de las secantes.
Cómo pueden estar situadas dos rectas
En el plano, dos rectas pueden compartir todos sus puntos, no compartir ninguno o cortarse en un único punto.
Coincidentes
Son la misma recta y tienen infinitos puntos comunes.
Paralelas
Tienen la misma dirección, pero ningún punto común.
Secantes
Tienen direcciones distintas y se cortan en un punto.
Perpendiculares
Son secantes y forman un ángulo recto.
Estudio mediante vectores directores
Sean \(\vec u=(a,b)\) y \(\vec v=(c,d)\) vectores directores de dos rectas. Su proporcionalidad determina si las rectas tienen la misma dirección.
Vectores proporcionales
Las rectas son paralelas o coincidentes.
Vectores no proporcionales
Las rectas son secantes.
Cómo distinguir paralelas y coincidentes
- Comprueba que los vectores directores son proporcionales.
- Elige un punto de una de las rectas.
- Sustitúyelo en la otra: si pertenece, son coincidentes; si no, paralelas.
Estudia \(r:(x,y)=(1,2)+t(2,3)\) y \(s:(x,y)=(-1,4)+\lambda(4,6)\)
Los vectores directores son proporcionales:
Comprobamos si el punto \((-1,4)\) pertenece a \(r\):
El punto no pertenece a \(r\), por tanto:
Estudia \(r:(x,y)=(1,2)+t(2,3)\) y \(s:(x,y)=(3,5)+\lambda(4,6)\)
Los vectores son proporcionales y el punto \((3,5)\) pertenece a \(r\), pues para \(t=1\):
Estudio mediante pendientes
Cuando las rectas están en forma explícita, la pendiente permite comparar rápidamente sus direcciones.
| Condición | Posición | Interpretación |
|---|---|---|
| \(m_1=m_2\), \(n_1=n_2\) | Coincidentes | Misma pendiente y misma ordenada en el origen. |
| \(m_1=m_2\), \(n_1\neq n_2\) | Paralelas | Misma dirección y distinta altura. |
| \(m_1\neq m_2\) | Secantes | Direcciones distintas. |
| \(m_1m_2=-1\) | Perpendiculares | Pendientes opuestas e inversas. |
Estudia \(r:y=2x-3\) y \(s:y=2x+5\)
Las pendientes son iguales, pero las ordenadas en el origen son diferentes:
Estudia \(r:y=-x+4\) y \(s:y=3x-2\)
Como las pendientes son distintas, las rectas son secantes.
Estudio mediante sistemas de ecuaciones
Los puntos comunes de dos rectas satisfacen simultáneamente sus ecuaciones. Por eso, estudiar su posición relativa equivale a estudiar un sistema lineal de dos ecuaciones.
| Tipo de sistema | Número de soluciones | Posición relativa |
|---|---|---|
| Compatible determinado | Una | Rectas secantes. |
| Incompatible | Ninguna | Rectas paralelas distintas. |
| Compatible indeterminado | Infinitas | Rectas coincidentes. |
Estudia \(r:2x-y-1=0\) y \(s:x+y-5=0\)
Resolvemos el sistema:
Sumamos las ecuaciones:
Sustituimos:
Las rectas son secantes.
Estudia \(r:2x-y+1=0\) y \(s:4x-2y-3=0\)
Multiplicando la primera ecuación por 2:
Los coeficientes de \(x\) e \(y\) son proporcionales, pero el término independiente no lo es.
Rectas perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares cuando sus vectores directores también lo son. Podemos comprobarlo mediante el producto escalar o mediante las pendientes.
Con vectores directores
Si \(\vec u=(a,b)\) y \(\vec v=(c,d)\), entonces \(ac+bd=0\).
Con pendientes
Solo se aplica cuando ambas pendientes están definidas.
Comprueba si las rectas con vectores \((2,3)\) y \((3,-2)\) son perpendiculares
Halla la recta perpendicular a \(r:y=2x-1\) que pasa por \(P=(3,4)\)
La pendiente perpendicular es:
Usamos la ecuación punto-pendiente:
Determinar valores para una posición dada
Cuando aparece un parámetro, traducimos la posición pedida a una condición algebraica sobre vectores, pendientes o coeficientes.
Vectores proporcionales
Producto escalar nulo
Misma dirección y punto común
Halla \(k\) para que las rectas con vectores \((2,k)\) y \((3,6)\) sean paralelas
Halla \(m\) para que \((m,2)\) y \((3,-6)\) sean perpendiculares
Determina \(k\) para que \(r:2x-y+3=0\) y \(s:4x-2y+k=0\) sean coincidentes
Los coeficientes de \(x\) e \(y\) están multiplicados por 2. El término independiente también debe estarlo:
Estrategia general y ejercicios globales
Elige el método que mejor se adapte a la forma en que están dadas las rectas.
Compara vectores
- Extrae los vectores directores.
- Comprueba si son proporcionales.
- Si lo son, prueba un punto.
Compara \(m\) y \(n\)
- Lee las pendientes.
- Compara las ordenadas.
- Comprueba si \(m_1m_2=-1\).
Resuelve conjuntamente
- Plantea el sistema.
- Estudia el número de soluciones.
- Si hay una, halla el corte.
Estudia \(r:3x+2y-7=0\) y \(s:2x-3y+1=0\), y halla su punto de corte
Un vector director de \(r\) es \((2,-3)\) y uno de \(s\) es \((3,2)\). No son proporcionales, por lo que son secantes. Además:
También son perpendiculares. Resolvemos:
La recta \(r\) pasa por \(A=(1,-1)\) y \(B=(4,5)\). Estudia su posición respecto de \(s:y=2x+3\)
La pendiente de \(r\) es \(2\), igual que la de \(s\). Como \(r:y=2x-3\), las ordenadas en el origen son distintas:
Primero estudia la dirección; después, los puntos comunes
Vectores proporcionales o pendientes iguales indican la misma dirección. Para distinguir entre paralelas y coincidentes, comprueba un punto o estudia el sistema. Si las direcciones son distintas, las rectas son secantes.
Errores frecuentes
Resumen del tema
La posición relativa de dos rectas puede estudiarse comparando vectores directores, pendientes o resolviendo sus ecuaciones como un sistema. Las rectas coincidentes tienen infinitos puntos comunes; las paralelas, ninguno; las secantes, uno; y las perpendiculares son secantes cuyos vectores directores tienen producto escalar cero.
Antes de continuar
- Distingo los cuatro tipos de posición.
- Comparo vectores directores.
- Uso pendientes cuando están definidas.
- Interpreto las soluciones de un sistema.
- Resuelvo ejercicios con parámetros.