E3 – Recta normal y plano mediador
Castilla y León · 2021 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Hallar la recta perpendicular al plano \(\pi\equiv x+y+z=1\) que pasa por \(A=(0,0,0)\). (0,8 puntos)
- Calcular la ecuación del plano respecto del cual los puntos \(P=(1,1,1)\) y \(Q=(1,3,-1)\) son simétricos. (1,2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Una recta perpendicular a un plano tiene como vector director un vector normal del plano. El plano que transforma un punto en otro por simetría es el plano mediador del segmento que los une.
🔵 Conceptos matemáticos
- Vector normal de un plano.
- Ecuaciones paramétricas de una recta.
- Punto medio y plano mediador de un segmento.
🟢 Estrategia de resolución
En el primer apartado leeremos directamente el vector normal del plano. En el segundo calcularemos el punto medio de \(PQ\) y tomaremos \(\overrightarrow{PQ}\) como vector normal.
🟣 Resolución paso a paso
a) Recta perpendicular a \(\pi\)
Un vector normal del plano:
\[
\pi\equiv x+y+z=1
\]
es:
\[
\vec n_\pi=(1,1,1).
\]
La recta buscada pasa por \(A=(0,0,0)\) y tiene como vector director \(\vec n_\pi\). Por tanto:
\[
\boxed{r\equiv(x,y,z)=(0,0,0)+t(1,1,1),\qquad t\in\mathbb R.}
\]
En forma paramétrica:
\[
\boxed{
\begin{cases}
x=t,\\
y=t,\\
z=t.
\end{cases}}
\]
b) Plano respecto del cual \(P\) y \(Q\) son simétricos
El plano buscado debe pasar por el punto medio de \(P\) y \(Q\):
\[
M=\frac{P+Q}{2}
=\left(\frac{1+1}{2},\frac{1+3}{2},\frac{1+(-1)}{2}\right)
=(1,2,0).
\]
Además, es perpendicular al segmento \(PQ\), por lo que un vector normal es:
\[
\overrightarrow{PQ}=Q-P=(0,2,-2).
\]
La ecuación del plano es:
\[
0(x-1)+2(y-2)-2(z-0)=0.
\]
Simplificando:
\[
2y-4-2z=0
\quad\Longrightarrow\quad
\boxed{y-z-2=0}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- El vector normal de un plano dirige todas sus rectas perpendiculares.
- Un plano de simetría entre dos puntos pasa por su punto medio.
- El segmento que une dos puntos simétricos es perpendicular al plano de simetría.