E4 – Plano que contiene una recta y un punto
Castilla y León · 2021 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Dados la recta:
\[
r\equiv
\frac{x+1}{-1}
=\frac{y-2}{1}
=\frac{z}{-2}
\]
y el punto \(P=(0,0,0)\), hallar la ecuación del plano \(\pi\) que contiene a \(r\) y pasa por \(P\). (2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Para determinar un plano necesitamos un punto y dos vectores directores no proporcionales. La recta proporciona uno; el segundo se obtiene uniendo un punto de la recta con \(P\).
🔵 Conceptos matemáticos
- Lectura de una recta en forma continua.
- Dos vectores directores de un plano.
- Producto vectorial y ecuación de un plano.
🟢 Estrategia de resolución
Tomaremos un punto \(A\) y el vector director de \(r\). Después construiremos \(\overrightarrow{AP}\), calcularemos un vector normal mediante un producto vectorial y escribiremos la ecuación del plano.
🟣 Resolución paso a paso
De la forma continua de la recta obtenemos:
\[
A=(-1,2,0)\in r,
\qquad
\vec v=(-1,1,-2).
\]
Como el plano también pasa por \(P=(0,0,0)\), otro vector contenido en él es:
\[
\overrightarrow{AP}=P-A=(1,-2,0).
\]
Los vectores \(\vec v\) y \(\overrightarrow{AP}\) no son proporcionales, por lo que determinan el plano. Un vector normal es:
\[
\begin{aligned}
\vec n
&=\vec v\times\overrightarrow{AP}\\
&=
\begin{vmatrix}
\vec i&\vec j&\vec k\\
-1&1&-2\\
1&-2&0
\end{vmatrix}\\
&=(-4,-2,1).
\end{aligned}
\]
Como el plano pasa por el origen, su ecuación es:
\[
-4(x-0)-2(y-0)+(z-0)=0.
\]
Por tanto:
\[
\boxed{\pi\equiv-4x-2y+z=0}.
\]
Comprobación: \(P\) verifica la ecuación y, al sustituir un punto genérico de \(r\), el resultado es siempre cero.
Qué debes aprender de este problema
- Una recta y un punto exterior determinan un único plano.
- El vector que une el punto exterior con un punto de la recta pertenece al plano.
- El producto vectorial de dos vectores del plano proporciona un vector normal.