E5 – Estudio y representación de una función exponencial
Castilla y León · 2021 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Representar la función:
\[
f(x)=e^{x^2},
\]
determinando antes sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus extremos relativos, sus intervalos de concavidad y convexidad y sus asíntotas. (2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
La representación debe apoyarse en el estudio analítico: la primera derivada determina la monotonía y los extremos; la segunda, la curvatura y los posibles puntos de inflexión.
🔵 Conceptos matemáticos
- Signo de la primera y de la segunda derivada.
- Extremos relativos y curvatura.
- Cálculo de asíntotas mediante límites.
🟢 Estrategia de resolución
Estudiaremos dominio y simetría, calcularemos \(f'\) y \(f''\), analizaremos los límites en los extremos del dominio y reuniremos toda la información en una gráfica coherente.
🟣 Resolución paso a paso
1. Dominio y simetría
La función está definida para todo número real:
\[
D_f=\mathbb R.
\]
Además:
\[
f(-x)=e^{(-x)^2}=e^{x^2}=f(x),
\]
por lo que es una función par y su gráfica es simétrica respecto del eje \(OY\).
2. Crecimiento, decrecimiento y extremos
Derivamos:
\[
f'(x)=e^{x^2}\cdot2x=2xe^{x^2}.
\]
Como \(e^{x^2}>0\) para todo \(x\), el signo de \(f'(x)\) coincide con el signo de \(x\):
- Si \(x<0\), \(f'(x)<0\): \(f\) decrece en \((-\infty,0)\).
- Si \(x>0\), \(f'(x)>0\): \(f\) crece en \((0,+\infty)\).
En \(x=0\), la derivada cambia de negativa a positiva, luego existe un mínimo relativo y absoluto:
\[
f(0)=e^0=1.
\]
Por tanto, el mínimo es:
\[
\boxed{(0,1)}.
\]
3. Concavidad, convexidad e inflexión
Calculamos la segunda derivada:
\[
\begin{aligned}
f''(x)
&=(2xe^{x^2})'\\
&=2e^{x^2}+4x^2e^{x^2}\\
&=2e^{x^2}(1+2x^2).
\end{aligned}
\]
Los dos factores son positivos para todo \(x\), por lo que:
\[
f''(x)>0\qquad\forall x\in\mathbb R.
\]
La función es convexa en todo \(\mathbb R\), no tiene intervalos de concavidad ni puntos de inflexión.
4. Asíntotas
- No hay asíntotas verticales porque el dominio es \(\mathbb R\).
- Como \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}e^{x^2}=+\infty\), no hay asíntotas horizontales.
- El crecimiento exponencial descarta también las asíntotas oblicuas.
5. Representación
La gráfica es simétrica respecto de \(OY\), pasa por \((0,1)\), decrece hasta ese mínimo y después crece, manteniendo siempre curvatura convexa.
Gráfica de f(x)=e^(x²)
Qué debes aprender de este problema
- El factor exponencial \(e^{x^2}\) es siempre positivo, lo que simplifica los estudios de signo.
- Una segunda derivada siempre positiva implica convexidad en todo el dominio.
- La simetría par ayuda a anticipar y comprobar la representación.