E8 – Determinación de un polinomio mediante tres condiciones
Castilla y León · 2021 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Hallar los valores de \(a\), \(b\) y \(c\) para los cuales el polinomio:
\[
P(x)=ax^2+bx+c
\]
cumple las siguientes condiciones:
- \(P(0)=1\).
- La pendiente de la recta tangente a la gráfica de \(P(x)\) en \(x=0\) es \(m=1\).
- \(\displaystyle\int_0^2P(x)\,dx=12\).
(2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Cada dato se traduce en una ecuación distinta: valor de la función, valor de la derivada e integral definida. Juntas permiten determinar los tres coeficientes.
🔵 Conceptos matemáticos
- Valor de una función y pendiente de la tangente.
- Derivada de un polinomio.
- Integral definida y regla de Barrow.
🟢 Estrategia de resolución
Aplicaremos primero \(P(0)=1\), después \(P'(0)=1\) y, con los coeficientes ya obtenidos, usaremos la condición integral para calcular \(a\).
🟣 Resolución paso a paso
1. Condición \(P(0)=1\)
Sustituimos \(x=0\):
\[
P(0)=a\cdot0^2+b\cdot0+c=c.
\]
Como \(P(0)=1\):
\[
c=1.
\]
2. Pendiente de la tangente en \(x=0\)
La pendiente es el valor de la derivada. Derivamos:
\[
P'(x)=2ax+b.
\]
Por tanto:
\[
P'(0)=b.
\]
Como la pendiente debe ser \(1\):
\[
b=1.
\]
3. Condición integral
Con \(b=c=1\), el polinomio es:
\[
P(x)=ax^2+x+1.
\]
Calculamos primero la primitiva:
\[
\int(ax^2+x+1)\,dx
=\frac{a}{3}x^3+\frac12x^2+x+C.
\]
Aplicamos Barrow entre \(0\) y \(2\):
\[
\begin{aligned}
\int_0^2P(x)\,dx
&=\left[\frac{a}{3}x^3+\frac12x^2+x\right]_0^2\\
&=\frac{8a}{3}+2+2\\
&=\frac{8a}{3}+4.
\end{aligned}
\]
Imponemos que el resultado sea \(12\):
\[
\frac{8a}{3}+4=12
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{8a}{3}=8
\quad\Longrightarrow\quad
a=3.
\]
En conclusión:
\[
\boxed{a=3,\qquad b=1,\qquad c=1}.
\]
El polinomio buscado es \(\boxed{P(x)=3x^2+x+1}\).
Qué debes aprender de este problema
- La pendiente de la tangente en \(x_0\) es \(P'(x_0)\).
- Cada condición funcional aporta una ecuación para los coeficientes.
- En una integral definida se obtiene primero una primitiva y después se aplica Barrow.