E10 – Tiempo de respuesta de un test médico
Castilla y León · 2021 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
El tiempo empleado, en minutos, para obtener la respuesta de un test para detectar cierta enfermedad sigue una distribución normal de media \(20\) y desviación típica \(4\).
- ¿En qué porcentaje de test se obtiene el resultado entre \(16\) y \(26\) minutos? (1 punto)
- ¿Cuántos minutos son necesarios para garantizar que se ha obtenido la respuesta del \(96{,}41\%\) de los test? (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
En el primer apartado se transforma un intervalo de la variable original en otro de la normal estándar. En el segundo se conoce la probabilidad acumulada y hay que recorrer el proceso en sentido inverso.
🔵 Conceptos matemáticos
- Distribución normal \(N(\mu,\sigma)\).
- Tipificación \(Z=(X-\mu)/\sigma\).
- Lectura directa e inversa de la tabla normal.
🟢 Estrategia de resolución
Tipificaremos los extremos \(16\) y \(26\). Después buscaremos en la tabla el valor de \(z\) cuya probabilidad acumulada es \(0{,}9641\) y desharemos la tipificación.
🟣 Resolución paso a paso
Sea:
\[
X\sim N(20,4).
\]
a) Tiempo entre \(16\) y \(26\) minutos
Tipificamos los dos extremos:
\[
z_1=\frac{16-20}{4}=-1,
\qquad
z_2=\frac{26-20}{4}=1{,}5.
\]
Por tanto:
\[
\begin{aligned}
P(16\leq X\leq26)
&=P(-1\leq Z\leq1{,}5)\\
&=\Phi(1{,}5)-\Phi(-1).
\end{aligned}
\]
De la tabla:
\[
\Phi(1{,}5)=0{,}9332,
\qquad
\Phi(-1)=1-\Phi(1)=1-0{,}8413=0{,}1587.
\]
Luego:
\[
P(16\leq X\leq26)
=0{,}9332-0{,}1587
=\boxed{0{,}7745}.
\]
El porcentaje es \(\boxed{77{,}45\%}\).
b) Percentil \(96{,}41\)
Buscamos un tiempo \(t\) tal que:
\[
P(X\leq t)=0{,}9641.
\]
En la tabla de la normal estándar:
\[
\Phi(1{,}80)=0{,}9641.
\]
Por tanto:
\[
\frac{t-20}{4}=1{,}8.
\]
Despejamos:
\[
t=20+4\cdot1{,}8
=20+7{,}2
=\boxed{27{,}2}.
\]
Son necesarios \(27{,}2\) minutos.
Qué debes aprender de este problema
- Tipificar convierte cualquier normal en una \(N(0,1)\).
- Para probabilidades con valores negativos se usa la simetría de la normal.
- En un percentil se lee primero \(z\) en la tabla y después se deshace la tipificación.