E5 – Monotonía y curvatura de un polinomio
Castilla y León · 2021 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Dada la función:
\[
f(x)=x^5-5x-1,
\]
determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus extremos relativos, sus intervalos de concavidad y convexidad y sus puntos de inflexión. (2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
La primera derivada controla la monotonía y los extremos; la segunda derivada permite estudiar la curvatura. No basta con resolver las ecuaciones \(f'=0\) y \(f''=0\): hay que analizar los cambios de signo.
🔵 Conceptos matemáticos
- Tabla de signos de la primera derivada.
- Máximos y mínimos relativos.
- Segunda derivada y puntos de inflexión.
🟢 Estrategia de resolución
Factorizaremos \(f'\) para estudiar su signo en los intervalos determinados por \(-1\) y \(1\). Después analizaremos \(f''\) a ambos lados de \(0\).
🟣 Resolución paso a paso
1. Crecimiento y decrecimiento
Calculamos la primera derivada:
\[
f'(x)=5x^4-5=5(x^4-1).
\]
Factorizamos:
\[
f'(x)=5(x^2-1)(x^2+1)
=5(x-1)(x+1)(x^2+1).
\]
Como \(x^2+1>0\), el signo depende de \((x-1)(x+1)\):
- Si \(x<-1\), \(f'(x)>0\).
- Si \(-1
- Si \(x>1\), \(f'(x)>0\).
Por tanto:
\[
\boxed{\text{\(f\) crece en }(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)}
\]
\[
\boxed{\text{\(f\) decrece en }(-1,1)}.
\]
2. Extremos relativos
En \(x=-1\), la derivada cambia de positiva a negativa: hay un máximo relativo.
\[
f(-1)=(-1)^5-5(-1)-1=-1+5-1=3.
\]
Máximo relativo:
\[
\boxed{(-1,3)}.
\]
En \(x=1\), la derivada cambia de negativa a positiva: hay un mínimo relativo.
\[
f(1)=1-5-1=-5.
\]
Mínimo relativo:
\[
\boxed{(1,-5)}.
\]
3. Concavidad, convexidad e inflexión
Calculamos la segunda derivada:
\[
f''(x)=20x^3.
\]
- Si \(x<0\), \(f''(x)<0\): la función es cóncava en \((-\infty,0)\).
- Si \(x>0\), \(f''(x)>0\): la función es convexa en \((0,+\infty)\).
En \(x=0\), \(f''(0)=0\) y cambia el signo de la segunda derivada. Por tanto hay un punto de inflexión:
\[
f(0)=-1.
\]
El punto de inflexión es:
\[
\boxed{(0,-1)}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- Los ceros de la derivada separan intervalos, pero el tipo de extremo se decide por el cambio de signo.
- El factor \(x^2+1\) nunca cambia el signo de \(f'\).
- Para que haya inflexión debe cambiar la curvatura, no basta con que \(f''(x)=0\).