A5 – Temperatura corporal y distribución normal
Castilla y León · 2019 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
La temperatura corporal sigue una distribución normal de media \(37\,^\circ\mathrm C\) y desviación típica \(0{,}5\,^\circ\mathrm C\).
- Calcule la probabilidad de que la temperatura esté entre \(36\,^\circ\mathrm C\) y \(38\,^\circ\mathrm C\). (1 punto)
- Calcule la probabilidad de que sea menor que \(36{,}5\,^\circ\mathrm C\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Tipificaremos los tres valores. El primer intervalo es simétrico respecto de la media, lo que simplifica el uso de la tabla.
🔵 Conceptos matemáticos
- Distribución normal.
- Tipificación.
- Simetría de la normal estándar.
- Uso de la función de distribución \(\Phi\).
🟢 Estrategia de resolución
Sea \(X\sim N(37,0{,}5)\). Convertimos los límites a valores de \(Z\) y expresamos las probabilidades mediante \(\Phi\).
🟣 Resolución paso a paso
Sea \(X\sim N(\mu=37,\sigma=0{,}5)\).
a) Temperatura entre \(36\) y \(38\)
\[
P(36\leq X\leq38)
=P\left(
\frac{36-37}{0{,}5}
\leq Z\leq
\frac{38-37}{0{,}5}
\right).
\]
\[
=P(-2\leq Z\leq2)
=\Phi(2)-\Phi(-2).
\]
Por simetría, \(\Phi(-2)=1-\Phi(2)\):
\[
P(-2\leq Z\leq2)
=2\Phi(2)-1
=2\cdot0{,}9772-1.
\]
\[
\boxed{P(36\leq X\leq38)=0{,}9544}.
\]
b) Temperatura menor que \(36{,}5\)
\[
P(X<36{,}5)
=P\left(Z<\frac{36{,}5-37}{0{,}5}\right)
=P(Z<-1).
\]
\[
P(Z<-1)=1-\Phi(1)=1-0{,}8413.
\]
\[
\boxed{P(X<36{,}5)=0{,}1587}.
\]
[/dso_math_ayuda]
[dso_math_aprendizaje]
- Los extremos \(36\) y \(38\) están a dos desviaciones típicas de la media.
- La simetría permite trabajar con valores positivos de la tabla.
- Las probabilidades deben quedar comprendidas entre cero y uno.
[/dso_math_aprendizaje]