B1 – Producto de matrices e inversa
Castilla y León · 2019 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Sean
\[
A=\begin{pmatrix}1&0&1\\-1&1&0\end{pmatrix},
\quad
M=\begin{pmatrix}x&0\\y&1\\x-y&1\end{pmatrix},
\quad
N=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}.
\]
Calcule \(x\) e \(y\) para que \(AM=N^{-1}\). (2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Los dos miembros son matrices \(2\times2\). Calcularemos por separado el producto \(AM\) y la inversa de \(N\), y después igualaremos sus elementos.
🔵 Conceptos matemáticos
- Producto de matrices.
- Inversa de una matriz \(2\times2\).
- Igualdad de matrices.
- Sistema lineal de dos incógnitas.
🟢 Estrategia de resolución
Multiplicamos filas de \(A\) por columnas de \(M\). Calculamos \(\det N\) y \(N^{-1}\). La igualdad matricial proporciona las ecuaciones para \(x\) e \(y\).
🟣 Resolución paso a paso
1. Cálculo de \(AM\)
\[
AM=
\begin{pmatrix}1&0&1\\-1&1&0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x&0\\y&1\\x-y&1\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2x-y&1\\
-x+y&1
\end{pmatrix}.
\]
2. Cálculo de \(N^{-1}\)
\[
\det N=1\cdot2-(-1)(-1)=1.
\]
\[
N^{-1}
=\frac1{\det N}
\begin{pmatrix}
2&1\\
1&1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2&1\\
1&1
\end{pmatrix}.
\]
3. Igualdad de las matrices
\[
\begin{pmatrix}
2x-y&1\\
-x+y&1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2&1\\
1&1
\end{pmatrix}.
\]
Los elementos no constantes proporcionan:
\[
\begin{cases}
2x-y=2,\\
-x+y=1.
\end{cases}
\]
Sumando ambas ecuaciones:
\[
x=3.
\]
Sustituyendo en \(-x+y=1\):
\[
-3+y=1
\quad\Longrightarrow\quad
y=4.
\]
\[
\boxed{x=3,\qquad y=4}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- En un producto matricial debe comprobarse primero que las dimensiones son compatibles.
- Dos matrices son iguales cuando coinciden todos sus elementos correspondientes.
- La solución puede verificarse sustituyendo \(x=3\) e \(y=4\) en \(M\).