B2 – Vectores perpendiculares y producto vectorial
Castilla y León · 2019 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Halle \(a\) y \(b\) para que los vectores \((a,-1,2)\) y \((1,b,-2)\) sean perpendiculares y las dos primeras coordenadas de su producto vectorial sean iguales. (2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
El enunciado impone dos condiciones independientes: producto escalar nulo e igualdad entre las dos primeras componentes del producto vectorial.
🔵 Conceptos matemáticos
- Producto escalar.
- Producto vectorial.
- Condiciones algebraicas sobre vectores.
- Sistema lineal de dos ecuaciones.
🟢 Estrategia de resolución
Traducimos la perpendicularidad a una ecuación. Después calculamos el producto vectorial y comparamos sus dos primeras coordenadas.
🟣 Resolución paso a paso
Sean:
\[
\vec u=(a,-1,2),
\qquad
\vec v=(1,b,-2).
\]
1. Condición de perpendicularidad
\[
\vec u\cdot\vec v
=a-b-4.
\]
Para que sean perpendiculares:
\[
a-b-4=0
\quad\Longrightarrow\quad
a-b=4.
\]
2. Condición sobre el producto vectorial
\[
\vec u\times\vec v
=
\begin{vmatrix}
\vec i&\vec j&\vec k\\
a&-1&2\\
1&b&-2
\end{vmatrix}
=(2-2b,\;2+2a,\;ab+1).
\]
Las dos primeras coordenadas deben ser iguales:
\[
2-2b=2+2a
\quad\Longrightarrow\quad
a+b=0.
\]
3. Resolución del sistema
\[
\begin{cases}
a-b=4,\\
a+b=0.
\end{cases}
\]
Sumando las dos ecuaciones:
\[
2a=4
\quad\Longrightarrow\quad
a=2.
\]
Entonces \(b=-a=-2\).
\[
\boxed{a=2,\qquad b=-2}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- Cada condición geométrica debe traducirse a su ecuación algebraica.
- Hay que respetar el orden de los vectores en el producto vectorial.
- La solución final satisface simultáneamente las dos condiciones.