PropiaÁlgebraDescomposición de fracciones algebraicas en fracciones simplesDifícil
Descompón en fracciones simples: \(\frac{x^2+10x-36}{x(x-3)^2}\)
Matemáticas 1 · 1º Bachillerato
Ficha del problema
Nivel
1º Bachillerato
Asignatura
Matemáticas 1
Bloque
Álgebra
Tema
Descomposición de fracciones algebraicas en fracciones simples
Fuente
Propia
Dificultad
Difícil
Tipo
Cálculo directo
Enunciado
Descompón la siguiente fracción algebraica en fracciones simples:
\[
\frac{x^2+10x-36}{x(x-3)^2}
\]
🟣 Resolución paso a paso
Resolución paso a paso
El denominador contiene el factor lineal repetido \((x-3)^2\). Por tanto:
\[
\frac{x^2+10x-36}{x(x-3)^2}
=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-3}+\frac{C}{(x-3)^2}.
\]
Multiplicamos por \(x(x-3)^2\):
\[
x^2+10x-36=A(x-3)^2+Bx(x-3)+Cx.
\]
Si \(x=0\), \(-36=9A\), luego \(A=-4\). Si \(x=3\), \(3=3C\), luego \(C=1\).
Comparamos los coeficientes de \(x^2\):
\[
1=A+B=-4+B\quad\Longrightarrow\quad B=5.
\]
Resultado:
\[
\boxed{-\frac4x+\frac5{x-3}+\frac1{(x-3)^2}}
\]