B5 – Diámetros de anillos y distribución normal
Castilla y León · 2018 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
El diámetro interior de un anillo sigue una distribución normal de media \(10\ \text{cm}\) y desviación típica \(0{,}03\ \text{cm}\).
- Calcule la probabilidad de que un anillo tenga un diámetro mayor de \(10{,}075\ \text{cm}\). (1 punto)
- Calcule la probabilidad de que el diámetro esté entre \(9{,}97\) y \(10{,}03\ \text{cm}\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Cada extremo del intervalo debe tipificarse. El primer apartado es una cola derecha y el segundo es un intervalo simétrico alrededor de la media.
🔵 Conceptos matemáticos
- Distribución normal.
- Tipificación.
- Probabilidad de una cola.
- Simetría de la normal estándar.
🟢 Estrategia de resolución
Definimos la variable, tipificamos cada valor y usamos la tabla de \(\Phi\). En el intervalo simétrico aplicamos \(\Phi(1)-\Phi(-1)\).
🟣 Resolución paso a paso
Sea
\[
X\sim N(10,0{,}03).
\]
a) Diámetro mayor de \(10{,}075\)
\[
P(X\gt10{,}075)
=P\left(
Z\gt\frac{10{,}075-10}{0{,}03}
\right).
\]
\[
\frac{10{,}075-10}{0{,}03}
=\frac{0{,}075}{0{,}03}
=2{,}5.
\]
\[
P(X\gt10{,}075)
=P(Z\gt2{,}5)
=1-\Phi(2{,}5).
\]
\[
=1-0{,}9938
=0{,}0062.
\]
\[
\boxed{P(X\gt10{,}075)=0{,}0062.}
\]
b) Diámetro entre \(9{,}97\) y \(10{,}03\)
\[
P(9{,}97\leq X\leq10{,}03)
=
P\left(
\frac{9{,}97-10}{0{,}03}
\leq Z\leq
\frac{10{,}03-10}{0{,}03}
\right).
\]
\[
=P(-1\leq Z\leq1).
\]
Por simetría:
\[
P(-1\leq Z\leq1)
=\Phi(1)-\Phi(-1)
=2\Phi(1)-1.
\]
\[
=2\cdot0{,}8413-1
=0{,}6826.
\]
\[
\boxed{P(9{,}97\leq X\leq10{,}03)=0{,}6826.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- La tipificación resta la media y divide entre la desviación típica.
- Las colas derechas se calculan con el complementario.
- En intervalos simétricos puede aprovecharse la simetría de la normal.