B1 – Discusión de un sistema con parámetro
Castilla y León · 2017 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Discuta, según los valores del parámetro \(\lambda\), el sistema
\[
\begin{cases}
x+\lambda y+\lambda z=1,\\
x+y+z=1,\\
x+2y+4z=2.
\end{cases}
\] - Resuélvalo para \(\lambda=1\).
Puntuación máxima: 2 puntos.
🟠 Comprensión del enunciado
El determinante permite separar el caso regular del singular. Cuando \(\lambda=1\), hay que comparar rangos y resolver el sistema indeterminado mediante Gauss.
🔵 Conceptos matemáticos
- Determinante dependiente de un parámetro.
- Teorema de Rouché-Frobenius.
- Sistemas compatibles determinados e indeterminados.
- Método de Gauss.
🟢 Estrategia de resolución
Calculamos \(|A|\). Para el valor que lo anula reducimos la matriz ampliada y, después, introducimos un parámetro libre.
🟣 Resolución paso a paso
a) Discusión del sistema
La matriz de coeficientes y la ampliada son:
\[
A=
\begin{pmatrix}
1&\lambda&\lambda\\
1&1&1\\
1&2&4
\end{pmatrix},
\qquad
A^*=
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&\lambda&\lambda&1\\
1&1&1&1\\
1&2&4&2
\end{array}
\right).
\]
Calculamos el determinante restando la primera fila a las otras dos:
\[
\begin{aligned}
|A|
&=
\begin{vmatrix}
1&\lambda&\lambda\\
0&1-\lambda&1-\lambda\\
0&2-\lambda&4-\lambda
\end{vmatrix}\\
&=(1-\lambda)(4-\lambda)-(1-\lambda)(2-\lambda)\\
&=2(1-\lambda).
\end{aligned}
\]
Si \(\lambda\neq1\), entonces \(|A|\neq0\) y
\[
\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3.
\]
El sistema es compatible determinado.
Caso \(\lambda=1\)
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&1&1&1\\
1&1&1&1\\
1&2&4&2
\end{array}
\right)
\xrightarrow{\substack{F_2\leftarrow F_2-F_1\\F_3\leftarrow F_3-F_1}}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&1&1&1\\
0&0&0&0\\
0&1&3&1
\end{array}
\right).
\]
Hay dos filas no nulas tanto en \(A\) como en \(A^*\):
\[
\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2\lt3.
\]
El sistema es compatible indeterminado.
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
\lambda\neq1:&\text{sistema compatible determinado},\\
\lambda=1:&\text{sistema compatible indeterminado}.
\end{array}}
\]
b) Resolución para \(\lambda=1\)
Ordenamos las filas no nulas:
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&1&1&1\\
0&1&3&1\\
0&0&0&0
\end{array}
\right)
\xrightarrow{F_1\leftarrow F_1-F_2}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&0&-2&0\\
0&1&3&1\\
0&0&0&0
\end{array}
\right).
\]
El sistema equivalente es:
\[
\begin{cases}
x-2z=0,\\
y+3z=1.
\end{cases}
\]
Tomamos \(z=t\), con \(t\in\mathbb R\). Entonces:
\[
x=2t,\qquad y=1-3t,\qquad z=t.
\]
\[
\boxed{(x,y,z)=(2t,1-3t,t),\quad t\in\mathbb R.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Si el determinante no se anula, el sistema tiene solución única.
- Una fila nula sin contradicción produce una variable libre.
- La discusión debe separar explícitamente todos los valores singulares del parámetro.