B2 – Recta de un plano perpendicular a otra recta
Castilla y León · 2017 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Dado el plano
\[
\pi\equiv3x+y+z-2=0
\]
y los puntos \(P(0,1,1)\) y \(Q(2,-1,-3)\), que pertenecen a \(\pi\), determine la recta del plano \(\pi\) que pasa por el punto medio de \(P\) y \(Q\) y es perpendicular a la recta que une estos puntos.
Puntuación máxima: 2 puntos.
🟠 Comprensión del enunciado
La recta buscada debe pasar por el punto medio y su vector director ha de ser perpendicular tanto a \(\overrightarrow{PQ}\) como al vector normal del plano.
🔵 Conceptos matemáticos
- Punto medio de un segmento.
- Vector normal de un plano.
- Producto vectorial.
- Recta contenida en un plano.
🟢 Estrategia de resolución
Calculamos el punto medio \(M\), el vector \(\overrightarrow{PQ}\) y un director perpendicular a este vector y al normal de \(\pi\).
🟣 Resolución paso a paso
Punto y direcciones
El punto medio de \(P\) y \(Q\) es:
\[
M=\left(\frac{0+2}{2},\frac{1-1}{2},\frac{1-3}{2}\right)
=(1,0,-1).
\]
El vector director de la recta \(PQ\) es:
\[
\overrightarrow{PQ}=Q-P=(2,-2,-4)\sim(-1,1,2).
\]
Un vector normal del plano es:
\[
\vec n_\pi=(3,1,1).
\]
Vector director de la recta buscada
Debe ser perpendicular a \(\overrightarrow{PQ}\) y a \(\vec n_\pi\). Calculamos:
\[
\begin{aligned}
\vec v
&=\overrightarrow{PQ}\times\vec n_\pi\\
&=
\begin{vmatrix}
\vec i&\vec j&\vec k\\
-1&1&2\\
3&1&1
\end{vmatrix}
=(-1,7,-4).
\end{aligned}
\]
Comprobamos:
\[
(-1,7,-4)\cdot(-1,1,2)=1+7-8=0,
\]
\[
(-1,7,-4)\cdot(3,1,1)=-3+7-4=0.
\]
La primera igualdad garantiza la perpendicularidad a \(PQ\); la segunda, que la dirección es paralela al plano.
Ecuación de la recta
\[
\boxed{r:\ (x,y,z)=(1,0,-1)+\lambda(-1,7,-4),\quad\lambda\in\mathbb R.}
\]
En forma continua:
\[
\boxed{\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{7}=\frac{z+1}{-4}.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Una dirección contenida en un plano es perpendicular a su vector normal.
- La perpendicularidad entre rectas se comprueba con sus vectores directores.
- El producto vectorial permite imponer simultáneamente dos condiciones de perpendicularidad.