Inecuaciones con una incógnita
Aprende a resolver inecuaciones de primer y segundo grado, polinómicas y racionales mediante factorización, intervalos y tablas de signos.
Una inecuación describe un conjunto de valores
A diferencia de una ecuación, una inecuación no busca normalmente un único número, sino todos los valores que hacen verdadera una desigualdad. Por eso, las soluciones se expresan mediante intervalos o uniones de intervalos.
Concepto de inecuación
Una inecuación es una desigualdad algebraica que contiene una incógnita. Resolverla consiste en hallar todos los valores que verifican dicha desigualdad.
Menor que
El extremo no está incluido.
Menor o igual
El extremo sí está incluido.
Mayor que
El extremo no está incluido.
Mayor o igual
El extremo sí está incluido.
Resuelve \(-2x>6\)
Dividimos entre \(-2\), por lo que invertimos el signo:
Inecuaciones de primer grado
Se resuelven como las ecuaciones lineales, pero manteniendo el sentido de la desigualdad y cambiándolo cuando se multiplica o divide por una cantidad negativa.
Resuelve \(3(2x-1)-4\le2(x+5)\)
Desarrollamos:
Agrupamos términos:
Dividimos entre \(4\), que es positivo:
Todos los reales
Si se obtiene una desigualdad siempre verdadera.
Sin solución
Si se obtiene una desigualdad falsa.
Inecuaciones de segundo grado
Una inecuación cuadrática se reduce a estudiar el signo de un polinomio de segundo grado. Sus raíces dividen la recta en intervalos donde el signo permanece constante.
Resuelve \(x^2-5x+6\ge0\)
Factorizamos:
Los puntos críticos son \(x=2\) y \(x=3\). Estudiamos el signo en cada intervalo:
| Intervalo | \(x-2\) | \(x-3\) | Producto |
|---|---|---|---|
| \((-\infty,2)\) | − | − | + |
| \((2,3)\) | + | − | − |
| \((3,+\infty)\) | + | + | + |
Como buscamos valores mayores o iguales que cero, tomamos los intervalos positivos e incluimos las raíces:
Dos raíces reales
La recta queda dividida en tres intervalos.
Una raíz doble
El signo no cambia al atravesarla.
Sin raíces reales
El polinomio mantiene siempre el signo de \(a\).
Inecuaciones polinómicas
Las inecuaciones polinómicas de grado superior se resuelven factorizando el polinomio y estudiando el signo de cada factor.
Resuelve \(x^3-4x^2-x+4<0\)
Factorizamos por agrupación:
Los puntos críticos son \(-1\), \(1\) y \(4\).
| Intervalo | \(x+1\) | \(x-1\) | \(x-4\) | Producto |
|---|---|---|---|---|
| \((-\infty,-1)\) | − | − | − | − |
| \((-1,1)\) | + | − | − | + |
| \((1,4)\) | + | + | − | − |
| \((4,+\infty)\) | + | + | + | + |
Como la desigualdad es estricta, no incluimos las raíces:
Tablas de signos
Una tabla de signos organiza el comportamiento de cada factor y permite decidir en qué intervalos la expresión es positiva, negativa o nula.
Pasos recomendados
- Pasa todos los términos a un miembro.
- Factoriza completamente la expresión.
- Calcula ceros del numerador y, si existe, del denominador.
- Ordena todos los puntos críticos en la recta real.
- Determina el signo de cada factor en cada intervalo.
- Combina los signos.
- Selecciona los intervalos que cumplen la desigualdad.
Multiplicidad de una raíz
Si un factor aparece elevado a una potencia par, el signo no cambia al atravesar su raíz. Si la multiplicidad es impar, el signo sí cambia.
Inecuaciones racionales
En una inecuación racional se estudia el signo de una fracción. Los ceros del numerador pueden formar parte de la solución, pero los del denominador siempre quedan excluidos.
Resuelve \(\dfrac{x-2}{x+1}\le0\)
Los puntos críticos son:
| Intervalo | \(x-2\) | \(x+1\) | Cociente |
|---|---|---|---|
| \((-\infty,-1)\) | − | − | + |
| \((-1,2)\) | − | + | − |
| \((2,+\infty)\) | + | + | + |
Buscamos valores negativos o nulos. Incluimos \(x=2\), pero excluimos \(x=-1\):
Resuelve \(\dfrac{(x-3)(x+2)}{x-1}>0\)
Los puntos críticos son \(-2\), \(1\) y \(3\). El punto \(1\) queda siempre excluido.
| Intervalo | \(x+2\) | \(x-1\) | \(x-3\) | Signo |
|---|---|---|---|---|
| \((-\infty,-2)\) | − | − | − | − |
| \((-2,1)\) | + | − | − | + |
| \((1,3)\) | + | + | − | − |
| \((3,+\infty)\) | + | + | + | + |
Inecuaciones con valor absoluto
El valor absoluto representa una distancia. Las inecuaciones con valor absoluto pueden transformarse en desigualdades dobles o en uniones de intervalos.
Distancia menor que \(r\)
La solución queda dentro del intervalo.
Distancia mayor que \(r\)
La solución queda fuera del intervalo.
Resuelve \(|2x-3|\le5\)
Escribimos la desigualdad doble:
Sumamos \(3\):
Dividimos entre \(2\):
Factorizar y estudiar signos es la estrategia central
En inecuaciones de grado superior y racionales, no se despeja directamente la incógnita: se analizan los intervalos determinados por los puntos críticos.
Errores frecuentes
Resumen del tema
Las inecuaciones describen conjuntos de valores. Las de primer grado se resuelven aislando la incógnita y controlando el sentido de la desigualdad. Las de segundo grado, polinómicas y racionales se resuelven mediante factorización y tablas de signos. Los ceros del numerador pueden incluirse según el signo de igualdad, mientras que los ceros del denominador siempre quedan excluidos.
Antes de continuar
- Expreso soluciones mediante intervalos.
- Cambio el sentido al dividir por negativos.
- Factorizo antes de construir la tabla.
- Distingo ceros del numerador y denominador.
- Selecciono correctamente los intervalos.