Matemáticas I · Trigonometría y geometría · Tema 11

Distancias y ángulos en el plano

Calcula distancias entre puntos y rectas, determina la separación entre rectas paralelas y obtiene el ángulo formado por dos rectas mediante vectores directores, pendientes y producto escalar.

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Medir en geometría analítica

Las coordenadas permiten traducir longitudes y ángulos a operaciones algebraicas. La idea central es identificar correctamente los elementos geométricos —puntos, vectores directores y ecuaciones generales— y elegir la fórmula adecuada.

1Calcular distancias en el plano

2Hallar ángulos entre rectas

3Resolver problemas métricos

Distancia básica

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos es el módulo del vector que los une. Se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras a las diferencias de sus coordenadas.

\[A(x_1,y_1),\quad B(x_2,y_2)\]

\[\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,\,y_2-y_1)\]

\[\boxed{d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}\]

Resta las abscisas

Calcula \(x_2-x_1\).

Resta las ordenadas

Calcula \(y_2-y_1\).

Aplica Pitágoras

Eleva al cuadrado, suma y extrae la raíz.

Ejemplo 1 · Distancia entre dos puntos

Calcula la distancia entre \(A=(-2,1)\) y \(B=(4,5)\)

Las diferencias de coordenadas son:

\[x_B-x_A=4-(-2)=6,\qquad y_B-y_A=5-1=4\]

Aplicamos la fórmula:

\[d(A,B)=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=\boxed{2\sqrt{13}}\]

Ejemplo 2 · Punto con parámetro

Halla los valores de \(k\) para que la distancia entre \(A=(1,2)\) y \(B=(k,5)\) sea \(5\)

\[\sqrt{(k-1)^2+(5-2)^2}=5\]

\[(k-1)^2+9=25\Rightarrow (k-1)^2=16\]

\[k-1=\pm4\Rightarrow \boxed{k=5\text{ o }k=-3}\]

iLa distancia siempre es no negativa. El orden de los puntos no altera el resultado porque las diferencias aparecen elevadas al cuadrado.

Distancia perpendicular

Distancia de un punto a una recta

La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular trazado desde el punto hasta la recta.

\[r:Ax+By+C=0,\qquad P(x_0,y_0)\]

\[\boxed{d(P,r)=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}}\]

Numerador

Sustituye las coordenadas del punto en el primer miembro de la ecuación general y toma valor absoluto.

\[|Ax_0+By_0+C|\]

Denominador

Calcula el módulo del vector normal de la recta, \((A,B)\).

\[\sqrt{A^2+B^2}\]

Método directo4 pasos

Cómo aplicar la fórmula sin errores

Escribe la recta en forma general \(Ax+By+C=0\).
Identifica correctamente \(A\), \(B\) y \(C\).
Sustituye \(x_0\) e \(y_0\) en el numerador.
Toma valor absoluto y simplifica la raíz del denominador.

Ejemplo 3 · Punto a recta

Calcula la distancia de \(P=(2,-1)\) a \(r:3x-4y+5=0\)

\[d(P,r)=\frac{|3\cdot2-4(-1)+5|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\]

\[d(P,r)=\frac{|6+4+5|}{5}=\frac{15}{5}=\boxed{3}\]

Ejemplo 4 · Recta no dada en forma general

Calcula la distancia de \(P=(1,4)\) a \(r:y=2x-3\)

Primero pasamos a forma general:

\[2x-y-3=0\]

\[d(P,r)=\frac{|2\cdot1-4-3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{5}{\sqrt5}=\boxed{\sqrt5}\]

!El valor absoluto del numerador es imprescindible. Sin él podríamos obtener una “distancia” negativa.

Separación constante

Distancia entre dos rectas paralelas

Dos rectas paralelas mantienen siempre la misma separación. Para calcularla, podemos elegir cualquier punto de una de ellas y hallar su distancia a la otra.

\[r:Ax+By+C_1=0,\qquad s:Ax+By+C_2=0\]

\[\boxed{d(r,s)=\frac{|C_2-C_1|}{\sqrt{A^2+B^2}}}\]

iEsta fórmula directa solo puede usarse cuando los coeficientes de \(x\) e \(y\) son exactamente iguales. Si son proporcionales, multiplica o divide primero una ecuación.

Ejemplo 5 · Fórmula directa

Calcula la distancia entre \(r:3x-4y+2=0\) y \(s:3x-4y-8=0\)

\[d(r,s)=\frac{|-8-2|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{10}{5}=\boxed{2}\]

Ejemplo 6 · Coeficientes proporcionales

Calcula la distancia entre \(r:2x-y+1=0\) y \(s:4x-2y-6=0\)

Dividimos la segunda ecuación entre 2:

\[s:2x-y-3=0\]

Ahora los coeficientes de \(x\) e \(y\) coinciden:

\[d(r,s)=\frac{|-3-1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\boxed{\frac{4}{\sqrt5}=\frac{4\sqrt5}{5}}\]

Ejemplo 7 · Método mediante un punto

Calcula la distancia entre \(r:y=2x+1\) y \(s:y=2x-4\)

Tomamos en \(r\) el punto \(P=(0,1)\). Escribimos \(s\) en forma general:

\[s:2x-y-4=0\]

\[d(r,s)=d(P,s)=\frac{|2\cdot0-1-4|}{\sqrt5}=\boxed{\sqrt5}\]

Medida angular

Ángulo formado por dos rectas

El ángulo entre dos rectas es el menor ángulo que forman al cortarse. Por convenio se toma un valor entre \(0^\circ\) y \(90^\circ\).

Con vectores directores

\[\boxed{\cos\alpha=\frac{|\vec u\cdot\vec v|}{|\vec u|\,|\vec v|}}\]

Es el método más general y también funciona con rectas verticales.

Con pendientes

\[\boxed{\tan\alpha=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}\right|}\]

Solo se usa cuando ambas pendientes están definidas.

Ejemplo 8 · Ángulo con vectores directores

Calcula el ángulo entre rectas con vectores directores \(\vec u=(1,2)\) y \(\vec v=(3,1)\)

\[\vec u\cdot\vec v=1\cdot3+2\cdot1=5\]

\[|\vec u|=\sqrt5,\qquad |\vec v|=\sqrt{10}\]

\[\cos\alpha=\frac{5}{\sqrt5\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt2}\]

\[\boxed{\alpha=45^\circ}\]

Ejemplo 9 · Ángulo con pendientes

Calcula el ángulo entre \(r:y=2x+1\) y \(s:y=-\frac13x+4\)

\[\tan\alpha=\left|\frac{-\frac13-2}{1+2\left(-\frac13\right)}\right|=\left|\frac{-\frac73}{\frac13}\right|=7\]

\[\boxed{\alpha=\arctan 7\approx81{,}87^\circ}\]

Ejemplo 10 · Comprobación de perpendicularidad

Calcula el ángulo entre rectas con vectores \((2,3)\) y \((3,-2)\)

\[(2,3)\cdot(3,-2)=6-6=0\]

El producto escalar es cero, luego:

\[\boxed{\alpha=90^\circ}\]

Elección de herramientas

Métodos alternativos y conversiones

Una misma distancia o un mismo ángulo puede calcularse de varias formas. Conviene adaptar el procedimiento a los datos del ejercicio.

Dos puntosVector

Usa el módulo

Forma \(\overrightarrow{AB}\).
Calcula sus componentes.
Halla su módulo.

Punto y rectaGeneral

Usa \(Ax+By+C=0\)

Convierte la recta.
Sustituye el punto.
Divide por \(\sqrt{A^2+B^2}\).

ÁnguloDirección

Usa vectores o pendientes

Extrae los directores.
Aplica producto escalar.
Toma siempre el ángulo menor.

Forma de la recta	Vector director	Vector normal	Pendiente
\((x,y)=P+t(a,b)\)	\((a,b)\)	\((b,-a)\)	\(m=\frac ba\), si \(a\neq0\)
\(Ax+By+C=0\)	\((B,-A)\)	\((A,B)\)	\(m=-\frac AB\), si \(B\neq0\)
\(y=mx+n\)	\((1,m)\)	\((m,-1)\)	\(m\)

iPara las fórmulas de distancia a una recta conviene la forma general. Para los ángulos, cualquier vector director sirve, aunque sea un múltiplo de otro.

Problemas métricos

Aplicaciones y ejercicios con parámetros

Las fórmulas métricas permiten determinar lugares geométricos, valores desconocidos y condiciones de separación o inclinación.

Ejemplo 11 · Puntos a distancia fija de una recta

Halla \(k\) para que el punto \(P=(k,1)\) esté a distancia \(2\) de \(r:3x+4y-5=0\)

\[\frac{|3k+4-5|}{5}=2\Rightarrow |3k-1|=10\]

\[3k-1=10\quad\text{o}\quad 3k-1=-10\]

\[\boxed{k=\frac{11}{3}\text{ o }k=-3}\]

Ejemplo 12 · Recta paralela a distancia dada

Halla las rectas paralelas a \(r:3x-4y+2=0\) situadas a distancia \(5\)

Las rectas buscadas tienen forma:

\[s:3x-4y+C=0\]

Imponemos la distancia:

\[\frac{|C-2|}{5}=5\Rightarrow |C-2|=25\]

\[C-2=\pm25\Rightarrow C=27\text{ o }C=-23\]

\[\boxed{s_1:3x-4y+27=0,\qquad s_2:3x-4y-23=0}\]

Ejemplo 13 · Parámetro y ángulo

Halla \(m\) para que las rectas con directores \((1,m)\) y \((2,1)\) sean perpendiculares

\[(1,m)\cdot(2,1)=0\]

\[2+m=0\Rightarrow \boxed{m=-2}\]

Ejemplo 14 · Altura de un triángulo

Calcula la altura correspondiente al lado \(AB\) del triángulo \(A=(0,0)\), \(B=(4,0)\), \(C=(1,3)\)

La recta que contiene a \(AB\) es \(y=0\). La altura es la distancia de \(C\) a esta recta:

\[d(C,AB)=\frac{|0\cdot1+1\cdot3+0|}{\sqrt{0^2+1^2}}=\boxed{3}\]

Método de resolución

Estrategia general y ejercicio completo

Antes de sustituir números, identifica qué elementos se comparan y en qué forma están dados.

Identifica el problema

¿Se pide distancia entre puntos, a una recta, entre paralelas o un ángulo?

Prepara los datos

Convierte a forma general o extrae vectores directores y pendientes.

Interpreta el resultado

Simplifica radicales, expresa el ángulo en grados y comprueba que la distancia sea positiva.

Ejemplo 15 · Estudio métrico completo

Sean \(r:2x-y+1=0\), \(s:2x-y-4=0\) y \(P=(3,1)\). Calcula la distancia entre las rectas, la distancia de \(P\) a \(r\) y el ángulo que forman

Las rectas tienen los mismos coeficientes \(A=2\) y \(B=-1\), por lo que son paralelas.

Distancia entre las rectas:

\[d(r,s)=\frac{|-4-1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\boxed{\sqrt5}\]

Distancia de \(P\) a \(r\):

\[d(P,r)=\frac{|2\cdot3-1+1|}{\sqrt5}=\frac6{\sqrt5}=\boxed{\frac{6\sqrt5}{5}}\]

Ángulo: al ser paralelas, sus vectores directores son proporcionales.

\[\boxed{\alpha=0^\circ}\]

Ejemplo 16 · Ángulo y punto de corte

Sean \(r:y=x+1\) y \(s:y=-2x+4\). Calcula el ángulo entre ellas y su punto de intersección

\[\tan\alpha=\left|\frac{-2-1}{1+1(-2)}\right|=3\]

\[\boxed{\alpha=\arctan3\approx71{,}57^\circ}\]

Para hallar el corte:

\[x+1=-2x+4\Rightarrow 3x=3\Rightarrow x=1\]

\[y=1+1=2\Rightarrow \boxed{P=(1,2)}\]

Qué debes recordar

Las distancias se basan en módulos y los ángulos en direcciones

Para medir una distancia necesitamos una longitud perpendicular o el módulo de un vector. Para medir el ángulo entre rectas comparamos sus vectores directores o sus pendientes y tomamos siempre el ángulo menor.

Dos puntosMódulo del vector que los une.

Punto a rectaSustitución en \(Ax+By+C\) y valor absoluto.

Rectas paralelasDiferencia de términos independientes tras igualar \(A\) y \(B\).

ÁnguloProducto escalar o fórmula de pendientes.

Errores frecuentes

Olvidar el valor absolutoLa distancia nunca puede ser negativa.

Usar la fórmula con una recta no generalPrimero escribe la ecuación como \(Ax+By+C=0\).

Aplicar directamente la fórmula de paralelasLos coeficientes \(A\) y \(B\) deben coincidir exactamente.

No tomar el ángulo menorEl ángulo entre dos rectas se expresa entre \(0^\circ\) y \(90^\circ\).

Confundir vector normal y directorEn \(Ax+By+C=0\), el normal es \((A,B)\) y un director es \((B,-A)\).

Redondear demasiado prontoMantén radicales y fracciones exactas hasta el resultado final.

Resumen del tema

La distancia entre dos puntos es el módulo del vector que los une. La distancia de un punto a una recta se calcula a partir de la ecuación general. La distancia entre paralelas puede obtenerse eligiendo un punto o comparando sus términos independientes, y el ángulo entre rectas se determina mediante producto escalar o pendientes.

Antes de continuar

Calculo distancias entre puntos.
Uso correctamente la fórmula punto-recta.
Igualo coeficientes en rectas paralelas.
Calculo el ángulo con vectores o pendientes.
Resuelvo ejercicios con parámetros.