Ecuaciones de la recta
Aprende a describir una recta del plano mediante un punto y un vector director, utiliza todas sus formas de ecuación y convierte con seguridad unas expresiones en otras.
Una misma recta, varias formas de escribirla
Todas las ecuaciones de una recta describen el mismo conjunto de puntos. La forma más conveniente depende de los datos disponibles: un punto y un vector, dos puntos, una pendiente o una ecuación ya conocida.
Punto, vector director y pendiente
Para determinar una recta basta conocer un punto por el que pasa y una dirección. Esa dirección puede expresarse mediante un vector director o mediante la pendiente.
Punto de paso
La recta pasa por un punto conocido:
Vector director
Indica la dirección de la recta:
Pendiente
Si \(a\neq0\), la pendiente es:
Halla un vector director de la recta que pasa por \(A=(1,2)\) y \(B=(5,-1)\)
Calculamos el vector que une los dos puntos:
Por tanto, un vector director es:
Calcula la pendiente de una recta cuyo vector director es \((3,-6)\)
La recta es decreciente porque su pendiente es negativa.
Ecuación vectorial
La ecuación vectorial expresa cualquier punto de la recta como el punto de paso más un múltiplo del vector director.
Qué representa \(t\)
El parámetro \(t\) puede tomar cualquier valor real. Cada valor produce un punto distinto de la recta.
Cómo se recorre la recta
Al aumentar o disminuir \(t\), avanzamos en una u otra dirección siguiendo el vector director.
Escribe la ecuación vectorial de la recta que pasa por \(A=(2,-1)\) y tiene vector director \(\vec v=(3,4)\)
Comprueba si \(P=(8,7)\) pertenece a \((x,y)=(2,-1)+t(3,4)\)
Igualamos las coordenadas:
Como aparece el mismo valor de \(t\) en ambas coordenadas:
Ecuaciones paramétricas
Las ecuaciones paramétricas se obtienen separando las dos coordenadas de la ecuación vectorial.
Transforma \((x,y)=(-1,3)+t(2,-5)\) en ecuaciones paramétricas
Obtén tres puntos de \(\begin{cases}x=1+2t\\y=-3+t\end{cases}\)
| Valor de \(t\) | Coordenada \(x\) | Coordenada \(y\) | Punto |
|---|---|---|---|
| \(0\) | \(1\) | \(-3\) | \((1,-3)\) |
| \(1\) | \(3\) | \(-2\) | \((3,-2)\) |
| \(-1\) | \(-1\) | \(-4\) | \((-1,-4)\) |
Ecuación continua
La ecuación continua se obtiene despejando el parámetro en las ecuaciones paramétricas e igualando los resultados.
Obtén la ecuación continua de \(\begin{cases}x=2+3t\\y=-1+4t\end{cases}\)
Despejamos \(t\):
Igualamos:
Transforma \(\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{-5}\)
Igualamos ambas fracciones a un parámetro \(t\):
Ecuación punto-pendiente
Cuando conocemos un punto \((x_0,y_0)\) y la pendiente \(m\), la forma más directa es la ecuación punto-pendiente.
Halla la ecuación de la recta que pasa por \(A=(2,-1)\) y tiene pendiente \(m=3\)
Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por \(A=(1,2)\) y \(B=(5,10)\)
Primero calculamos la pendiente:
Usamos el punto \(A\):
Ecuaciones explícita y general
\(y=mx+n\)
La pendiente es \(m\) y la ordenada en el origen es \(n\).
\(Ax+By+C=0\)
El vector \((A,B)\) es normal a la recta y un vector director puede ser \((-B,A)\).
Pendiente desde la general
Si \(B\neq0\):
Vector normal
Es perpendicular a la recta:
Vector director
Una elección posible es:
Transforma \(y-2=-3(x+1)\)
Transforma \(y=\frac23x-4\) en ecuación general
Eliminamos denominadores:
Pasamos todo al mismo miembro:
En la recta \(3x+2y-6=0\), identifica un vector normal, un vector director y la pendiente
Conversión entre las distintas formas
No conviene memorizar seis procedimientos aislados. Todas las formas parten de los mismos datos: un punto y una dirección.
| Forma | Ecuación | Información visible |
|---|---|---|
| Vectorial | \((x,y)=(x_0,y_0)+t(a,b)\) | Punto y vector director. |
| Paramétricas | \(x=x_0+at,\ y=y_0+bt\) | Punto, vector y parámetro. |
| Continua | \(\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}\) | Punto y vector director. |
| Punto-pendiente | \(y-y_0=m(x-x_0)\) | Punto y pendiente. |
| Explícita | \(y=mx+n\) | Pendiente y corte con el eje \(Y\). |
| General | \(Ax+By+C=0\) | Vector normal y forma algebraica compacta. |
Vectorial → Paramétricas
- Separa las coordenadas.
- Conserva el mismo parámetro.
- Revisa signos.
Paramétricas → Continua
- Despeja \(t\) en ambas.
- Iguala las expresiones.
- Simplifica.
Continua → Punto-pendiente
- Lee \((a,b)\).
- Calcula \(m=b/a\).
- Usa el punto visible.
Punto-pendiente → General
- Desarrolla paréntesis.
- Elimina denominadores.
- Pasa todo a un miembro.
Convierte la recta \((x,y)=(1,-2)+t(4,3)\) en todas las demás formas
1. Paramétricas:
2. Continua:
3. Pendiente:
4. Punto-pendiente:
5. Explícita:
6. General:
Obtén todas las formas principales de la recta que pasa por \(A=(-2,1)\) y \(B=(4,4)\)
Vector director:
Vectorial:
Paramétricas:
Continua:
Pendiente \(m=1/2\) y punto-pendiente:
Explícita y general:
Todas las ecuaciones representan la misma recta
Elige la forma que mejor se adapte a los datos y usa el punto, el vector director o la pendiente como puente para transformar una ecuación en otra.
Errores frecuentes
Resumen del tema
Una recta queda determinada por un punto y una dirección. La forma vectorial usa directamente esos datos; las paramétricas separan las coordenadas; la continua elimina el parámetro; la punto-pendiente utiliza la inclinación; la explícita muestra pendiente y ordenada en el origen; y la general reúne todos los términos en un solo miembro.
Antes de continuar
- Obtengo un vector director a partir de dos puntos.
- Escribo las seis formas de una recta.
- Calculo la pendiente desde un vector.
- Convierto unas formas en otras.
- Compruebo si un punto pertenece a una recta.