Matemáticas I · Trigonometría y geometría · Tema 12

Rectas y puntos notables de un triángulo

Construye analíticamente medianas, mediatrices, alturas y bisectrices, y determina el baricentro, circuncentro, ortocentro e incentro a partir de las coordenadas de los vértices.

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Geometría analítica del triángulo

Las rectas notables de un triángulo se construyen a partir de puntos medios, perpendicularidad, distancias y ecuaciones de rectas. Al intersectarlas aparecen cuatro puntos fundamentales que resumen buena parte de la geometría del triángulo.

1Obtener las rectas notables

2Calcular sus puntos de corte

3Interpretar cada construcción

Punto de partida

Herramientas necesarias

Antes de construir las rectas notables debes dominar tres ideas: punto medio, ecuación de una recta y perpendicularidad.

Punto medio

Si A y B son extremos de un lado:

\[M_{AB}\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2} \right)\]

Vector director

La recta que pasa por A y B tiene como director:

\[\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\,y_B-y_A)\]

⊥

Perpendicularidad

Si \(\vec u=(a,b)\), un vector perpendicular es:

\[\vec u_\perp=(b,-a)\]

Recta notable	Pasa por	Condición	Punto de corte
Mediana	Un vértice y el punto medio del lado opuesto	Une ambos puntos	Baricentro
Mediatriz	Punto medio de un lado	Perpendicular al lado	Circuncentro
Altura	Un vértice	Perpendicular al lado opuesto	Ortocentro
Bisectriz	Un vértice	Igual distancia a los lados del ángulo	Incentro

iPara hallar un punto notable basta normalmente con calcular dos de las tres rectas correspondientes y resolver el sistema que forman. La tercera sirve como comprobación.

Centro de gravedad

Medianas y baricentro

Una mediana une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas se cortan en el baricentro.

Cómo hallar una mediana

Calcula el punto medio del lado opuesto.
Forma el vector desde el vértice hasta ese punto.
Escribe la ecuación de la recta.

Fórmula directa del baricentro

Si los vértices son \(A,B,C\):

\[\boxed{G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}3,\frac{y_A+y_B+y_C}{3} \right)}\]

Ejemplo 1 · Mediana desde A

En el triángulo \(A=(1,4)\), \(B=(-2,0)\), \(C=(4,2)\), calcula la mediana que parte de A

El punto medio de \(BC\) es:

\[M_{BC}=\left(\frac{-2+4}{2},\frac{0+2}{2} \right)=(1,1)\]

La recta pasa por \(A=(1,4)\) y \(M_{BC}=(1,1)\). Ambos puntos tienen la misma abscisa:

\[\boxed{m_A:x=1}\]

Ejemplo 2 · Baricentro

Calcula el baricentro del triángulo anterior

\[G=\left(\frac{1-2+4}{3},\frac{4+0+2}{3} \right)=\boxed{(1,2)}\]

Además, el baricentro divide cada mediana en razón \(2:1\), quedando el tramo más largo junto al vértice.

iEl baricentro siempre está en el interior del triángulo y puede obtenerse directamente promediando las coordenadas de los tres vértices.

Centro de la circunferencia circunscrita

Mediatrices y circuncentro

La mediatriz de un lado es la recta perpendicular a ese lado que pasa por su punto medio. Las tres mediatrices se cortan en el circuncentro.

Paso 1Punto medio

Localiza el centro del lado

Calcula el punto medio de uno de los lados.

Paso 2Perpendicular

Cambia la dirección

Obtén un vector perpendicular al vector del lado.

Paso 3Sistema

Intersecta dos mediatrices

La solución del sistema es el circuncentro.

Ejemplo 3 · Mediatrices

Halla el circuncentro del triángulo \(A=(0,0)\), \(B=(6,0)\), \(C=(2,4)\)

Mediatriz de AB. Su punto medio es \((3,0)\) y el lado es horizontal, por lo que la mediatriz es vertical:

\[r:x=3\]

Mediatriz de AC. El punto medio es \((1,2)\). Un director de \(AC\) es \((2,4)\), así que uno perpendicular es \((4,-2)\), equivalente a \((2,-1)\).

\[(x,y)=(1,2)+t(2,-1)\]

En forma explícita:

\[y-2=-\frac12(x-1)\]

Imponemos \(x=3\):

\[y-2=-1\Rightarrow y=1\]

\[\boxed{O=(3,1)}\]

Comprobación:

\[OA=OB=OC=\sqrt{10}\]

iEl circuncentro puede quedar dentro, sobre o fuera del triángulo: dentro si es acutángulo, en el punto medio de la hipotenusa si es rectángulo y fuera si es obtusángulo.

Perpendiculares desde los vértices

Alturas y ortocentro

Una altura es la recta que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto. Las tres alturas se cortan en el ortocentro.

Ejemplo 4 · Ortocentro

Halla el ortocentro del triángulo \(A=(0,0)\), \(B=(6,0)\), \(C=(2,4)\)

Altura desde C. Como \(AB\) es horizontal, la perpendicular es vertical y pasa por \(C\):

\[h_C:x=2\]

Altura desde A. Un director de \(BC\) es:

\[\overrightarrow{BC}=(-4,4)\sim(-1,1)\]

Un vector perpendicular es \((1,1)\). La altura desde A pasa por el origen:

\[h_A:y=x\]

Intersección:

\[x=2,\qquad y=2\]

\[\boxed{H=(2,2)}\]

Triángulo acutángulo

El ortocentro queda dentro del triángulo.

Triángulo rectángulo

El ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto.

Triángulo obtusángulo

El ortocentro queda fuera del triángulo.

iNo confundas una altura con un segmento. En geometría analítica trabajamos con la recta completa que contiene ese segmento perpendicular.

Centro de la circunferencia inscrita

Bisectrices e incentro

La bisectriz de un ángulo divide ese ángulo en dos partes iguales. Las tres bisectrices interiores de un triángulo se cortan en el incentro.

Método por igualdad de distancias

Un punto de la bisectriz está a la misma distancia de los dos lados del ángulo:

\[\frac{|A_1x+B_1y+C_1|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}}=\frac{|A_2x+B_2y+C_2|}{\sqrt{A_2^2+B_2^2}}\]

Fórmula directa del incentro

Si \(a=|BC|\), \(b=|CA|\), \(c=|AB|\):

\[\boxed{I=\frac{aA+bB+cC}{a+b+c}}\]

Ejemplo 5 · Incentro mediante longitudes

Calcula el incentro del triángulo rectángulo \(A=(0,0)\), \(B=(6,0)\), \(C=(0,8)\)

Las longitudes opuestas a \(A,B,C\) son:

\[a=|BC|=10,\qquad b=|CA|=8,\qquad c=|AB|=6\]

Aplicamos la fórmula ponderada:

\[I=\frac{10(0,0)+8(6,0)+6(0,8)}{10+8+6}\]

\[I=\frac{(48,48)}{24}=\boxed{(2,2)}\]

La distancia de \(I\) a los tres lados es \(2\), que es el radio de la circunferencia inscrita.

Ejemplo 6 · Bisectrices de dos rectas

Determina las bisectrices de \(r:x=0\) y \(s:y=0\)

Las ecuaciones generales son \(x=0\) e \(y=0\). Igualamos distancias:

\[|x|=|y|\]

Por tanto aparecen dos bisectrices:

\[\boxed{y=x\qquad\text{e}\qquad y=-x}\]

En un triángulo debemos elegir la bisectriz interior correspondiente al ángulo estudiado.

iLa ecuación de las bisectrices proporciona normalmente dos rectas: la interior y la exterior. Para hallar el incentro debes seleccionar las interiores.

Método de resolución

Estrategia general

El procedimiento cambia según la recta notable, pero siempre conviene preparar primero los lados del triángulo y sus puntos medios.

Ordena los datos

Escribe los vértices, vectores de los lados y puntos medios.

Construye dos rectas

Usa la condición geométrica correspondiente.

Resuelve el sistema

La intersección proporciona el punto notable.

Comprueba

Verifica la tercera recta o una propiedad métrica.

Si buscas...	Calcula primero...	Después...	Comprobación útil
Baricentro	Dos puntos medios	Dos medianas	Promedio de coordenadas
Circuncentro	Puntos medios y lados	Dos mediatrices	Misma distancia a A, B y C
Ortocentro	Vectores de dos lados	Dos alturas	Pertenece a la tercera altura
Incentro	Longitudes de los lados	Bisectrices o fórmula ponderada	Misma distancia a los tres lados

iPara evitar errores, nombra cada lado por el vértice opuesto: \(a=|BC|\), \(b=|CA|\), \(c=|AB|\). Esta convención es esencial en la fórmula del incentro.

Síntesis

Ejercicio completo

Aplicamos todos los procedimientos a un mismo triángulo para comparar las rectas y los puntos notables.

Ejemplo 7 · Estudio completo de un triángulo rectángulo

Sea el triángulo \(A=(0,0)\), \(B=(6,0)\), \(C=(0,8)\). Calcula sus cuatro puntos notables

1. Baricentro.

\[G=\left(\frac{0+6+0}{3},\frac{0+0+8}{3} \right)=\boxed{\left(2,\frac{8}{3} \right)}\]

2. Circuncentro. El triángulo es rectángulo en A, así que el circuncentro es el punto medio de la hipotenusa \(BC\):

\[O=\left(\frac{6+0}{2},\frac{0+8}{2} \right)=\boxed{(3,4)}\]

3. Ortocentro. En un triángulo rectángulo coincide con el vértice del ángulo recto:

\[\boxed{H=A=(0,0)}\]

4. Incentro. Como \(a=10\), \(b=8\) y \(c=6\):

\[I=\frac{10(0,0)+8(6,0)+6(0,8)}{24}=\boxed{(2,2)}\]

Ejemplo 8 · Comprobaciones

Comprueba las propiedades de O e I

El circuncentro debe estar a la misma distancia de los tres vértices:

\[OA=OB=OC=5\]

El incentro debe estar a la misma distancia de los tres lados. Los lados son \(x=0\), \(y=0\) y \(4x+3y-24=0\):

\[d(I,x=0)=2,\qquad d(I,y=0)=2\]

\[d(I,4x+3y-24=0)=\frac{|8+6-24|}5=2\]

Las dos propiedades quedan verificadas.

Qué debes recordar

Cada punto notable nace de la intersección de un tipo de rectas

Las medianas conducen al baricentro, las mediatrices al circuncentro, las alturas al ortocentro y las bisectrices al incentro. La clave está en traducir correctamente cada condición geométrica a una ecuación de recta.

BaricentroIntersección de medianas. Promedio de coordenadas.

CircuncentroIntersección de mediatrices. Equidista de los vértices.

OrtocentroIntersección de alturas.

IncentroIntersección de bisectrices. Equidista de los lados.

Errores frecuentes

Confundir mediana y mediatrizLa mediana pasa por un vértice; la mediatriz no tiene por qué hacerlo.

Usar el lado equivocadoLa recta notable asociada a un vértice se construye respecto del lado opuesto.

Olvidar la perpendicularidadMediatrices y alturas necesitan una dirección perpendicular al lado.

Elegir la bisectriz exteriorEl incentro se obtiene con las bisectrices interiores.

Intercambiar los pesos del incentroEl peso de A es la longitud del lado opuesto \(a=|BC|\).

No comprobar el resultadoUsa la tercera recta o una propiedad de equidistancia.

Resumen del tema

Las coordenadas permiten construir analíticamente todas las rectas notables de un triángulo. Los puntos medios permiten hallar medianas y mediatrices; la perpendicularidad permite construir mediatrices y alturas; y la igualdad de distancias caracteriza las bisectrices. Al resolver los sistemas correspondientes aparecen el baricentro, circuncentro, ortocentro e incentro.

Antes de terminar el bloque

Calculo puntos medios y lados.
Obtengo medianas y el baricentro.
Construyo mediatrices y el circuncentro.
Construyo alturas y el ortocentro.
Calculo bisectrices e incentro.