Matemáticas I · Trigonometría y geometría · Tema 04

Resolución de triángulos rectángulos

Aprende a calcular lados, ángulos, alturas y distancias mediante razones trigonométricas, el teorema de Pitágoras y la interpretación de ángulos de elevación y depresión.

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Punto de partida

Resolver un triángulo es determinar todos sus lados y ángulos

En un triángulo rectángulo conocemos siempre uno de sus ángulos: el ángulo recto. Por tanto, para resolverlo suelen bastar dos datos adicionales, siempre que al menos uno de ellos sea un lado.

La elección de la herramienta depende de los datos conocidos: utilizaremos el teorema de Pitágoras cuando intervengan únicamente lados y las razones trigonométricas cuando aparezcan lados y ángulos.

90° El ángulo que caracteriza a todo triángulo rectángulo
01
Lenguaje geométrico

Elementos de un triángulo rectángulo

Antes de plantear ninguna operación debemos identificar correctamente la hipotenusa y los catetos. Además, los conceptos de cateto opuesto y cateto adyacente siempre dependen del ángulo agudo que estemos tomando como referencia.

α Cateto adyacente a α Cateto opuesto a α Hipotenusa

La hipotenusa está siempre frente al ángulo recto. Los nombres “opuesto” y “adyacente” dependen del ángulo de referencia.

H

Hipotenusa

Es el lado opuesto al ángulo recto y el lado de mayor longitud del triángulo.

CO

Cateto opuesto

Es el cateto situado frente al ángulo agudo que hemos elegido como referencia.

CA

Cateto adyacente

Es el cateto que forma el ángulo de referencia junto con la hipotenusa.

i Un mismo cateto puede ser opuesto respecto de un ángulo y adyacente respecto del otro. La hipotenusa, en cambio, nunca cambia.
02
Relaciones entre lados

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

El seno, el coseno y la tangente relacionan los lados de un triángulo rectángulo con uno de sus ángulos agudos. Elegiremos la razón que contenga el dato conocido y la incógnita que queremos calcular.

Razón 1 Seno

Relaciona el cateto opuesto y la hipotenusa

\[ \operatorname{sen}\alpha = \frac{\text{cateto opuesto}} {\text{hipotenusa}} \]
Razón 2 Coseno

Relaciona el cateto adyacente y la hipotenusa

\[ \cos\alpha = \frac{\text{cateto adyacente}} {\text{hipotenusa}} \]
Razón 3 Tangente

Relaciona los dos catetos

\[ \operatorname{tg}\alpha = \frac{\text{cateto opuesto}} {\text{cateto adyacente}} \]
Datos disponibles Incógnita Razón recomendada
Cateto opuesto y ángulo Hipotenusa Seno
Cateto adyacente y ángulo Hipotenusa Coseno
Hipotenusa y ángulo Cateto opuesto Seno
Hipotenusa y ángulo Cateto adyacente Coseno
Un cateto y ángulo El otro cateto Tangente
03
Relación entre los tres lados

Teorema de Pitágoras

Cuando conocemos dos lados de un triángulo rectángulo, podemos calcular el tercero mediante el teorema de Pitágoras, sin necesidad de utilizar inicialmente ninguna razón trigonométrica.

\[ \boxed{h^2=a^2+b^2} \]
H

Calcular la hipotenusa

\[ h=\sqrt{a^2+b^2} \]

Se suman los cuadrados de los catetos y se calcula la raíz cuadrada.

C

Calcular un cateto

\[ a=\sqrt{h^2-b^2} \]

Se resta del cuadrado de la hipotenusa el cuadrado del cateto conocido.

Ejemplo resuelto 1

Los catetos de un triángulo rectángulo miden \(9\ \text{cm}\) y \(12\ \text{cm}\). Calcula la hipotenusa.

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

\[ h^2=9^2+12^2 \]
\[ h^2=81+144=225 \]
\[ h=\sqrt{225}=15 \]

Por tanto:

\[ \boxed{h=15\ \text{cm}} \]
! La hipotenusa nunca se obtiene restando. La suma aparece cuando calculamos la hipotenusa; la resta aparece al calcular un cateto.
04
Aplicación directa

Cálculo de lados mediante trigonometría

Si conocemos un ángulo agudo y un lado, podemos calcular los otros lados. El paso decisivo es identificar qué lado es opuesto, cuál es adyacente y cuál es la hipotenusa respecto del ángulo conocido.

Ejemplo resuelto 2

En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide \(18\ \text{cm}\) y uno de los ángulos agudos mide \(35^\circ\). Calcula los dos catetos.

1. Calculamos el cateto opuesto

El seno relaciona el cateto opuesto con la hipotenusa:

\[ \operatorname{sen}35^\circ = \frac{c_o}{18} \]

Despejamos:

\[ c_o = 18\operatorname{sen}35^\circ \]
\[ c_o \approx 18\cdot0{,}5736 \approx 10{,}32 \]

2. Calculamos el cateto adyacente

\[ \cos35^\circ = \frac{c_a}{18} \]
\[ c_a = 18\cos35^\circ \]
\[ c_a \approx 18\cdot0{,}8192 \approx 14{,}75 \]

Por tanto:

\[ \boxed{ c_o\approx10{,}32\ \text{cm}, \qquad c_a\approx14{,}75\ \text{cm} } \]
Ejemplo resuelto 3

Un cateto mide \(14\ \text{m}\) y es adyacente a un ángulo de \(52^\circ\). Calcula el cateto opuesto y la hipotenusa.

1. Cateto opuesto

Como conocemos el cateto adyacente y buscamos el opuesto, usamos la tangente:

\[ \operatorname{tg}52^\circ = \frac{c_o}{14} \]
\[ c_o = 14\operatorname{tg}52^\circ \approx 17{,}92\ \text{m} \]

2. Hipotenusa

Como conocemos el cateto adyacente, usamos el coseno:

\[ \cos52^\circ = \frac{14}{h} \]
\[ h = \frac{14}{\cos52^\circ} \approx 22{,}74\ \text{m} \]
\[ \boxed{ c_o\approx17{,}92\ \text{m}, \qquad h\approx22{,}74\ \text{m} } \]
05
Funciones inversas

Cálculo de ángulos

Cuando conocemos dos lados podemos hallar un ángulo utilizando las funciones trigonométricas inversas. La razón elegida depende de los lados conocidos.

sen⁻¹

Con opuesto e hipotenusa

\[ \alpha = \arcsen \left( \frac{c_o}{h} \right) \]
cos⁻¹

Con adyacente e hipotenusa

\[ \alpha = \arccos \left( \frac{c_a}{h} \right) \]
tg⁻¹

Con los dos catetos

\[ \alpha = \arctan \left( \frac{c_o}{c_a} \right) \]
Ejemplo resuelto 4

Los catetos de un triángulo rectángulo miden \(8\ \text{cm}\) y \(15\ \text{cm}\). Calcula sus ángulos agudos.

Tomamos como cateto opuesto a \(\alpha\) el lado de \(8\ \text{cm}\) y como cateto adyacente el de \(15\ \text{cm}\).

\[ \operatorname{tg}\alpha = \frac{8}{15} \]
\[ \alpha = \arctan \left( \frac{8}{15} \right) \approx 28{,}07^\circ \]

Los dos ángulos agudos son complementarios:

\[ \beta = 90^\circ-\alpha \]
\[ \beta \approx 90^\circ-28{,}07^\circ = 61{,}93^\circ \]
\[ \boxed{ \alpha\approx28{,}07^\circ, \qquad \beta\approx61{,}93^\circ } \]
i En la calculadora debes utilizar las teclas \(\sin^{-1}\), \(\cos^{-1}\) o \(\tan^{-1}\). Estas expresiones representan funciones inversas, no fracciones.
06
Modelización geométrica

Ángulos de elevación y depresión

Muchos problemas de alturas y distancias se convierten en triángulos rectángulos. Para plantearlos correctamente debemos reconocer la línea horizontal del observador y la línea visual dirigida hacia el objeto.

↗

Ángulo de elevación

Se forma cuando el observador dirige la mirada hacia un punto situado por encima de su línea horizontal.

↘

Ángulo de depresión

Se forma cuando el observador mira hacia un punto situado por debajo de su línea horizontal.

α Distancia horizontal Altura Línea visual

La altura y la distancia horizontal actúan como catetos. La línea visual actúa como hipotenusa.

i Cuando dos líneas horizontales son paralelas, el ángulo de depresión desde la parte superior coincide con el ángulo de elevación desde el punto inferior por ser ángulos alternos internos.
07
Aplicaciones

Problemas de alturas y distancias

La parte más importante de estos problemas no es la operación, sino la construcción del esquema. Una vez dibujado el triángulo rectángulo, debemos identificar los datos, la incógnita y la razón trigonométrica adecuada.

Ejemplo resuelto 5 · Altura de una torre

Desde un punto situado a \(32\ \text{m}\) de la base de una torre se observa su parte superior con un ángulo de elevación de \(41^\circ\). Calcula la altura de la torre.

La altura es el cateto opuesto y la distancia horizontal es el cateto adyacente. Utilizamos la tangente:

\[ \operatorname{tg}41^\circ = \frac{h}{32} \]

Despejamos la altura:

\[ h = 32\operatorname{tg}41^\circ \]
\[ h \approx 32\cdot0{,}8693 \approx 27{,}82 \]
\[ \boxed{h\approx27{,}82\ \text{m}} \]
Ejemplo resuelto 6 · Altura del observador

Una persona cuyos ojos se encuentran a \(1{,}65\ \text{m}\) del suelo observa la parte superior de un edificio bajo un ángulo de elevación de \(36^\circ\). La persona está a \(48\ \text{m}\) del edificio. Calcula la altura total.

Primero calculamos la diferencia de altura entre los ojos del observador y la parte superior del edificio.

\[ \operatorname{tg}36^\circ = \frac{x}{48} \]
\[ x = 48\operatorname{tg}36^\circ \approx 34{,}87\ \text{m} \]

Después añadimos la altura de los ojos:

\[ h=x+1{,}65 \]
\[ h \approx 34{,}87+1{,}65 = 36{,}52 \]
\[ \boxed{h\approx36{,}52\ \text{m}} \]
! La razón trigonométrica calcula la diferencia de altura respecto de la línea horizontal de los ojos, no siempre la altura total desde el suelo.
Ejemplo resuelto 7 · Longitud de una escalera

Una escalera forma un ángulo de \(68^\circ\) con el suelo y alcanza una altura de \(5{,}4\ \text{m}\) sobre una pared. Calcula la longitud de la escalera y la distancia de su base a la pared.

1. Longitud de la escalera

La escalera es la hipotenusa y la altura es el cateto opuesto:

\[ \operatorname{sen}68^\circ = \frac{5{,}4}{L} \]
\[ L = \frac{5{,}4}{\operatorname{sen}68^\circ} \approx 5{,}82\ \text{m} \]

2. Distancia a la pared

\[ \operatorname{tg}68^\circ = \frac{5{,}4}{d} \]
\[ d = \frac{5{,}4}{\operatorname{tg}68^\circ} \approx 2{,}18\ \text{m} \]
\[ \boxed{ L\approx5{,}82\ \text{m}, \qquad d\approx2{,}18\ \text{m} } \]
Ejemplo resuelto 8 · Ángulo de depresión

Desde la parte superior de un acantilado de \(75\ \text{m}\) se observa una embarcación con un ángulo de depresión de \(28^\circ\). Calcula la distancia horizontal de la embarcación al pie del acantilado.

El ángulo de depresión coincide con el ángulo de elevación desde la embarcación. La altura es el cateto opuesto y la distancia horizontal es el cateto adyacente:

\[ \operatorname{tg}28^\circ = \frac{75}{d} \]

Despejamos:

\[ d = \frac{75}{\operatorname{tg}28^\circ} \]
\[ d \approx 141{,}05\ \text{m} \]
\[ \boxed{d\approx141{,}05\ \text{m}} \]
Ejemplo resuelto 9 · Dos observaciones

Desde un punto se observa la parte superior de una torre bajo un ángulo de \(30^\circ\). Al avanzar \(20\ \text{m}\) hacia la torre, el ángulo pasa a ser de \(45^\circ\). Calcula la altura de la torre.

Sea \(x\) la distancia desde el segundo punto hasta la torre y \(h\) su altura.

Desde el punto más cercano:

\[ \operatorname{tg}45^\circ = \frac{h}{x} \]

Como \(\operatorname{tg}45^\circ=1\):

\[ h=x \]

Desde el punto inicial, la distancia hasta la torre es \(x+20\):

\[ \operatorname{tg}30^\circ = \frac{h}{x+20} \]

Sustituimos \(h=x\):

\[ \operatorname{tg}30^\circ = \frac{x}{x+20} \]
\[ \frac{\sqrt3}{3} = \frac{x}{x+20} \]

Multiplicamos en cruz:

\[ \sqrt3(x+20)=3x \]
\[ \sqrt3x+20\sqrt3=3x \]
\[ 20\sqrt3=x(3-\sqrt3) \]
\[ x = \frac{20\sqrt3}{3-\sqrt3} = 10(\sqrt3+1) \]

Como \(h=x\):

\[ \boxed{ h=10(\sqrt3+1)\ \text{m} \approx27{,}32\ \text{m} } \]
08
Método de resolución

Estrategia general

La resolución de problemas trigonométricos puede organizarse mediante una secuencia fija. Seguirla evita utilizar una razón incorrecta o confundir la altura total con una diferencia de alturas.

01

Dibuja un esquema

Representa el suelo, la altura, la línea visual y el ángulo indicado.

02

Señala el ángulo recto

Identifica el triángulo rectángulo que contiene los datos relevantes.

03

Etiqueta los lados

Decide qué lado es opuesto, adyacente e hipotenusa respecto del ángulo.

04

Elige la herramienta

Usa Pitágoras con dos lados o una razón trigonométrica cuando aparece un ángulo.

05

Despeja antes de calcular

Escribe la igualdad y despeja simbólicamente la incógnita antes de introducir datos.

06

Interpreta el resultado

Añade unidades, redondea con criterio y comprueba que el valor sea coherente con el dibujo.

Cómo estudiar este tema

La clave no está en memorizar, sino en identificar

Antes de utilizar una fórmula, debes saber qué datos tienes, qué lado buscas y cuál es el ángulo de referencia.

01

Hipotenusa

Siempre está frente al ángulo recto y es el lado de mayor longitud.

02

Seno

Relaciona el cateto opuesto con la hipotenusa.

03

Coseno

Relaciona el cateto adyacente con la hipotenusa.

04

Tangente

Relaciona el cateto opuesto con el cateto adyacente.

05

Pitágoras

Permite calcular un lado cuando conocemos los otros dos.

06

Funciones inversas

Permiten hallar un ángulo cuando conocemos dos lados.

\[ \text{Dibujar} \;\longrightarrow\; \text{identificar} \;\longrightarrow\; \text{plantear} \;\longrightarrow\; \text{resolver} \;\longrightarrow\; \text{comprobar} \]
!
Antes de terminar

Errores frecuentes

1

Confundir opuesto y adyacente

Estos nombres dependen del ángulo elegido. Debes volver a identificarlos cada vez que cambie el ángulo de referencia.

2

Confundir la hipotenusa

La hipotenusa no es el lado inclinado por definición, sino el lado opuesto al ángulo recto.

3

Usar la calculadora en radianes

En problemas geométricos expresados en grados, la calculadora debe estar configurada en modo DEG.

4

Redondear demasiado pronto

Conserva varios decimales durante el proceso y redondea únicamente el resultado final.

5

No sumar la altura del observador

La tangente suele proporcionar la altura desde la línea de los ojos, no necesariamente desde el suelo.

6

No comprobar la coherencia

La hipotenusa debe ser el lado mayor y una distancia nunca puede resultar negativa.

✓
Síntesis

Resumen del tema

Situación Herramienta Expresión
Conocemos los dos catetos Teorema de Pitágoras \(h=\sqrt{a^2+b^2}\)
Conocemos hipotenusa y un cateto Teorema de Pitágoras \(a=\sqrt{h^2-b^2}\)
Opuesto e hipotenusa Seno \(\operatorname{sen}\alpha=c_o/h\)
Adyacente e hipotenusa Coseno \(\cos\alpha=c_a/h\)
Los dos catetos Tangente \(\operatorname{tg}\alpha=c_o/c_a\)
Conocemos dos lados y buscamos un ángulo Función inversa \(\operatorname{arcsen}\), \(\arccos\) o \(\arctan\)
Qué debes recordar

Ideas esenciales

01

El dibujo forma parte de la resolución

Un esquema correcto permite reconocer los lados y elegir la razón.

02

La razón depende de los datos

No se elige seno, coseno o tangente al azar.

03

Pitágoras relaciona lados

No necesita conocer ningún ángulo agudo.

04

Las inversas calculan ángulos

Utilizamos arcoseno, arcocoseno o arcotangente.

05

Las alturas pueden ser parciales

Revisa si debes añadir la altura del observador o de un soporte.

06

Las unidades son obligatorias

Todo resultado debe expresarse e interpretarse en su contexto.

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