Operaciones con matrices
Aprende a sumar matrices, multiplicarlas, trabajar con escalares y obtener su traspuesta.
Este tema es clave para avanzar hacia determinantes, rango y sistemas de ecuaciones.
Idea básica
Las matrices permiten realizar operaciones similares a las de los números, pero con reglas propias. Dominar estas operaciones es imprescindible para trabajar con sistemas de ecuaciones y problemas más avanzados.
Suma / Resta de matrices
Dos matrices se pueden sumar únicamente si tienen el mismo orden.
\[ A+B=(a_{ij}+b_{ij}) \]
Ejemplo:
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6\\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8\\ 10 & 12 \end{pmatrix} \]
Producto por un escalar
Multiplicar una matriz por un número consiste en multiplicar todos sus elementos.
\[ 3\begin{pmatrix} 1 & -2\\ 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -6\\ 0 & 12 \end{pmatrix} \]
Producto de matrices
Solo se pueden multiplicar si coinciden columnas de la primera con filas de la segunda.
\[ AB\neq BA \]
Ejemplo:
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 6\\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 & 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 & 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix} \]
Traspuesta de una matriz
Se obtiene intercambiando filas por columnas.
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6 \end{pmatrix} \]
Qué debes recordar
Solo mismo orden
Multiplica todo
No conmutativo
Filas ↔ columnas
Resumen final
- La suma exige mismo orden
- El escalar multiplica todos los elementos
- El producto depende de dimensiones
- El producto no es conmutativo
- La traspuesta intercambia filas y columnas