1 – Matrices, sistemas y determinantes
Castilla y León · 2026 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Sean las matrices
\[
A=
\begin{pmatrix}
2 & 2 & 0\\
0 & 2 & 0\\
2 & 0 & 4
\end{pmatrix},
\qquad
B=
\begin{pmatrix}
-3 & 4 & -6\\
-2 & 1 & -2\\
-11 & 3 & -8
\end{pmatrix}
\]
e
\[
I=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\]
-
Resolver la ecuación matricial
\[
\frac{1}{4}A^2-AX=B.
\]
(0,5 puntos) -
Discutir el sistema de ecuaciones
\[
(A-\alpha I)
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
1
\end{pmatrix},
\]
en función del parámetro \(\alpha\in\mathbb{R}\). (1,5 puntos) -
Si
\[
\begin{vmatrix}
a & b & c\\
d & e & f\\
g & h & i
\end{vmatrix}
=-2,
\]
calcular el valor de
\[
\begin{vmatrix}
g-5a & 2d & a\\
2h-10b & 4e & 2b\\
i-5c & 2f & c
\end{vmatrix}.
\]
(0,5 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
El problema reúne tres ejercicios diferentes del bloque de Álgebra:
- Una ecuación matricial en la que la incógnita es una matriz \(X\).
- Un sistema con parámetro que debemos clasificar según los valores de \(\alpha\).
- Un cálculo de determinantes utilizando sus propiedades, sin desarrollar directamente el determinante.
En el apartado a), debemos recordar que en una ecuación matricial el orden de los productos importa. No podemos tratar las matrices como si fueran números.
En el apartado b), los valores especiales del parámetro serán aquellos que anulen:
\[
\det(A-\alpha I)
\]
En el apartado c), la clave no es desarrollar el nuevo determinante, sino reconocer cómo se han transformado las filas y columnas del determinante original.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Álgebra.
Intervienen los siguientes conceptos:
- Ecuaciones matriciales.
- Matriz inversa y despeje matricial.
- Sistemas de ecuaciones con parámetro.
- Determinante de una matriz.
- Teorema de Rouché-Frobenius.
- Propiedades de los determinantes.
Para discutir el sistema utilizaremos:
- El determinante para localizar los valores especiales de \(\alpha\).
- Los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada para estudiar esos valores.
En el último apartado utilizaremos que sumar a una columna un múltiplo de otra no cambia el determinante, mientras que multiplicar una fila o una columna por un número multiplica el determinante por ese mismo número.
🟢 Estrategia de resolución
En el apartado a), partimos de:
\[
\frac14 A^2-AX=B
\]
Despejamos el término que contiene \(X\):
\[
AX=\frac14 A^2-B
\]
y multiplicamos por \(A^{-1}\) a la izquierda:
\[
X=A^{-1}\left(\frac14 A^2-B\right)
\]
En el apartado b), escribimos la matriz:
\[
A-\alpha I
\]
y calculamos su determinante. Los valores que lo anulen deberán estudiarse por separado mediante el teorema de Rouché-Frobenius.
En el apartado c), primero extraeremos un factor \(2\) de la segunda fila. Después interpretaremos las columnas del determinante resultante a partir de las filas del determinante original.
Así evitaremos un desarrollo algebraico largo e innecesario.
🟣 Resolución paso a paso
a) Resolución de la ecuación matricial
Partimos de:
\[
\frac14 A^2-AX=B
\]
Despejamos el término que contiene la matriz desconocida:
\[
AX=\frac14 A^2-B
\]
Como \(A\) es invertible, multiplicamos por \(A^{-1}\) a la izquierda:
\[
X=A^{-1}\left(\frac14 A^2-B\right)
\]
Calculamos primero:
\[
A^2=
\begin{pmatrix}
2 & 2 & 0\\
0 & 2 & 0\\
2 & 0 & 4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & 2 & 0\\
0 & 2 & 0\\
2 & 0 & 4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
4 & 8 & 0\\
0 & 4 & 0\\
12 & 4 & 16
\end{pmatrix}
\]
Por tanto:
\[
\frac14 A^2=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0\\
0 & 1 & 0\\
3 & 1 & 4
\end{pmatrix}
\]
Restamos la matriz \(B\):
\[
\frac14 A^2-B
=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0\\
0 & 1 & 0\\
3 & 1 & 4
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
-3 & 4 & -6\\
-2 & 1 & -2\\
-11 & 3 & -8
\end{pmatrix}
\]
\[
=
\begin{pmatrix}
4 & -2 & 6\\
2 & 0 & 2\\
14 & -2 & 12
\end{pmatrix}
\]
La inversa de \(A\) es:
\[
A^{-1}
=
\begin{pmatrix}
\frac12 & -\frac12 & 0\\
0 & \frac12 & 0\\
-\frac14 & \frac14 & \frac14
\end{pmatrix}
\]
Por tanto:
\[
X=
A^{-1}\left(\frac14 A^2-B\right)
\]
\[
X=
\begin{pmatrix}
\frac12 & -\frac12 & 0\\
0 & \frac12 & 0\\
-\frac14 & \frac14 & \frac14
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
4 & -2 & 6\\
2 & 0 & 2\\
14 & -2 & 12
\end{pmatrix}
\]
Finalmente:
\[
\boxed{
X=
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 2\\
1 & 0 & 1\\
3 & 0 & 2
\end{pmatrix}
}
\]
b) Discusión del sistema según \(\alpha\)
La matriz de coeficientes del sistema es:
\[
A-\alpha I=
\begin{pmatrix}
2-\alpha & 2 & 0\\
0 & 2-\alpha & 0\\
2 & 0 & 4-\alpha
\end{pmatrix}
\]
Calculamos su determinante:
\[
\det(A-\alpha I)
=
\begin{vmatrix}
2-\alpha & 2 & 0\\
0 & 2-\alpha & 0\\
2 & 0 & 4-\alpha
\end{vmatrix}
\]
\[
\det(A-\alpha I)
=(2-\alpha)^2(4-\alpha)
\]
Por tanto, los valores especiales son:
\[
\alpha=2
\qquad \text{y} \qquad
\alpha=4
\]
Si:
\[
\alpha\neq2,4
\]
el determinante es distinto de cero y el sistema tiene una única solución.
Por tanto, es compatible determinado.
Caso \(\alpha=2\)
El sistema queda:
\[
\begin{pmatrix}
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0\\
2 & 0 & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
1
\end{pmatrix}
\]
Es decir:
\[
\begin{cases}
2y=0\\
0=0\\
2x+2z=1
\end{cases}
\]
Tenemos:
\[
\operatorname{rg}(A-2I)
=
\operatorname{rg}(A^*)
=
2<3
\]
Por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible indeterminado.
Por tanto, para:
\[
\boxed{\alpha=2}
\]
el sistema tiene infinitas soluciones.
Caso \(\alpha=4\)
El sistema queda:
\[
\begin{pmatrix}
-2 & 2 & 0\\
0 & -2 & 0\\
2 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
1
\end{pmatrix}
\]
Es decir:
\[
\begin{cases}
-2x+2y=0\\
-2y=0\\
2x=1
\end{cases}
\]
De la segunda ecuación:
\[
y=0
\]
La primera ecuación obliga entonces a que:
\[
x=0
\]
pero la tercera ecuación exige:
\[
x=\frac12
\]
Aparece una contradicción.
Equivalentemente:
\[
\operatorname{rg}(A-4I)=2
\]
mientras que:
\[
\operatorname{rg}(A^*)=3
\]
Por tanto, el sistema es incompatible.
Para:
\[
\boxed{\alpha=4}
\]
el sistema no tiene solución.
Conclusión de la discusión:
- Si \(\alpha\neq2,4\), el sistema es compatible determinado.
- Si \(\alpha=2\), el sistema es compatible indeterminado.
- Si \(\alpha=4\), el sistema es incompatible.
c) Cálculo del determinante
Sabemos que:
\[
\begin{vmatrix}
a & b & c\\
d & e & f\\
g & h & i
\end{vmatrix}
=-2
\]
Queremos calcular:
\[
D=
\begin{vmatrix}
g-5a & 2d & a\\
2h-10b & 4e & 2b\\
i-5c & 2f & c
\end{vmatrix}
\]
Extraemos un factor \(2\) de la segunda fila:
\[
D=
2
\begin{vmatrix}
g-5a & 2d & a\\
h-5b & 2e & b\\
i-5c & 2f & c
\end{vmatrix}
\]
Extraemos ahora un factor \(2\) de la segunda columna:
\[
D=
4
\begin{vmatrix}
g-5a & d & a\\
h-5b & e & b\\
i-5c & f & c
\end{vmatrix}
\]
Sumamos cinco veces la tercera columna a la primera:
\[
C_1\longrightarrow C_1+5C_3
\]
Esta operación no modifica el valor del determinante:
\[
D=
4
\begin{vmatrix}
g & d & a\\
h & e & b\\
i & f & c
\end{vmatrix}
\]
Esta matriz es la transpuesta de la matriz original, pero con la primera y la tercera columnas intercambiadas.
La transposición no cambia el determinante y el intercambio de dos columnas cambia su signo.
Por tanto:
\[
\begin{vmatrix}
g & d & a\\
h & e & b\\
i & f & c
\end{vmatrix}
=
-
\begin{vmatrix}
a & b & c\\
d & e & f\\
g & h & i
\end{vmatrix}
\]
Como el determinante original vale \(-2\):
\[
D=4\cdot(-(-2))
\]
\[
D=8
\]
Respuesta:
\[
\boxed{8}
\]
Qué debes aprender de este problema
- En una ecuación matricial hay que respetar siempre el orden de los productos.
- Los valores que anulan el determinante de la matriz de coeficientes deben estudiarse por separado.
- Si el determinante es distinto de cero, el sistema tiene una única solución.
- El teorema de Rouché-Frobenius permite distinguir entre sistemas compatibles indeterminados e incompatibles.
- En problemas de determinantes conviene buscar transformaciones de filas y columnas antes de desarrollar directamente.
- La transposición no cambia el valor de un determinante, pero intercambiar dos filas o dos columnas cambia su signo.