1A – Sistema con parámetro
Castilla y León · 2026 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Considera el siguiente sistema de ecuaciones:
\[
\begin{cases}
(m-10)x-2y-z=-1\\
7x+(m+2)y+2z=m+1\\
5x+2y+z=1
\end{cases}
\qquad m\in\mathbb{R}
\]
- Discutir el sistema de ecuaciones según los valores del parámetro \(m\). (1,5 puntos)
- Resolver, razonadamente, el sistema de ecuaciones para \(m=3\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Tenemos un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, pero aparece un parámetro \(m\).
El objetivo del apartado a) es decidir cuándo el sistema tiene:
- Una única solución.
- Infinitas soluciones.
- Ninguna solución.
Para ello estudiaremos la matriz de coeficientes:
\[
A=
\begin{pmatrix}
m-10 & -2 & -1\\
7 & m+2 & 2\\
5 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\]
La clave está en calcular su determinante. Si \(|A|\neq 0\), el sistema es compatible determinado.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Álgebra.
Intervienen los siguientes conceptos:
- Sistemas de ecuaciones lineales con parámetro.
- Matriz de coeficientes.
- Determinante de una matriz.
- Rango de una matriz.
- Teorema de Rouché-Frobenius.
El teorema de Rouché-Frobenius permite clasificar el sistema comparando el rango de la matriz de coeficientes y el rango de la matriz ampliada.
🟢 Estrategia de resolución
Primero calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:
\[
|A|
\]
Si el determinante es distinto de cero, el sistema tiene solución única.
Si el determinante se anula para algún valor de \(m\), tendremos que estudiar esos valores por separado usando rangos.
Después, para \(m=3\), sustituiremos el valor del parámetro en el sistema y lo resolveremos directamente.
Como \(m=3\) no anula el determinante, esperamos obtener una única solución.
🟣 Resolución paso a paso
a) Discusión del sistema según \(m\)
La matriz de coeficientes es:
\[
A=
\begin{pmatrix}
m-10 & -2 & -1\\
7 & m+2 & 2\\
5 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\]
Calculamos su determinante:
\[
|A|=
\begin{vmatrix}
m-10 & -2 & -1\\
7 & m+2 & 2\\
5 & 2 & 1
\end{vmatrix}
\]
Al desarrollar y factorizar se obtiene:
\[
|A|=(m-5)(m-2)
\]
Por tanto:
\[
|A|\neq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad m\neq 2,\; m\neq 5
\]
Así, si:
\[
m\neq 2,5
\]
el sistema es compatible determinado, es decir, tiene una única solución.
Caso \(m=2\)
Sustituimos \(m=2\):
\[
\begin{cases}
-8x-2y-z=-1\\
7x+4y+2z=3\\
5x+2y+z=1
\end{cases}
\]
Estudiando los rangos se obtiene:
\[
\operatorname{rg}(A)=2
\]
pero:
\[
\operatorname{rg}(A^*)=3
\]
Como los rangos son distintos:
\[
\operatorname{rg}(A)\neq \operatorname{rg}(A^*)
\]
el sistema es incompatible.
Es decir, para \(m=2\) el sistema no tiene solución.
Caso \(m=5\)
Sustituimos \(m=5\):
\[
\begin{cases}
-5x-2y-z=-1\\
7x+7y+2z=6\\
5x+2y+z=1
\end{cases}
\]
Estudiando los rangos se obtiene:
\[
\operatorname{rg}(A)=2
\]
y:
\[
\operatorname{rg}(A^*)=2
\]
Como:
\[
\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2<3
\]
el sistema es compatible indeterminado.
Es decir, para \(m=5\) tiene infinitas soluciones.
Conclusión de la discusión:
- Si \(m\neq 2,5\), el sistema es compatible determinado.
- Si \(m=2\), el sistema es incompatible.
- Si \(m=5\), el sistema es compatible indeterminado.
b) Resolución del sistema para \(m=3\)
Sustituimos \(m=3\) en el sistema:
\[
\begin{cases}
-7x-2y-z=-1\\
7x+5y+2z=4\\
5x+2y+z=1
\end{cases}
\]
Sumamos la primera y la tercera ecuación:
\[
(-7x-2y-z)+(5x+2y+z)=-1+1
\]
\[
-2x=0
\]
\[
x=0
\]
Sustituimos \(x=0\) en la tercera ecuación:
\[
2y+z=1
\]
Sustituimos \(x=0\) en la segunda ecuación:
\[
5y+2z=4
\]
Resolvemos el sistema:
\[
\begin{cases}
2y+z=1\\
5y+2z=4
\end{cases}
\]
De la primera ecuación:
\[
z=1-2y
\]
Sustituimos en la segunda:
\[
5y+2(1-2y)=4
\]
\[
5y+2-4y=4
\]
\[
y=2
\]
Entonces:
\[
z=1-2\cdot2=1-4=-3
\]
Respuesta:
\[
\boxed{x=0,\qquad y=2,\qquad z=-3}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema tiene solución única.
- Los valores que anulan el determinante deben estudiarse por separado.
- El teorema de Rouché-Frobenius clasifica los sistemas comparando rangos.
- Si \(\operatorname{rg}(A)\neq \operatorname{rg}(A^*)\), el sistema no tiene solución.
- Si \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)