4.1 – Baterías defectuosas
Madrid · 2026 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
El proveedor de una fábrica de móviles proporciona baterías cuya duración sigue una distribución normal con media
\[
\mu=24
\]
horas y desviación típica
\[
\sigma=3
\]
horas.
A efectos de control de calidad, se considera que una batería es defectuosa si su duración es inferior a 21 horas.
- Se elige un teléfono al azar de la línea de producción. Calcular la probabilidad de que su batería sea considerada defectuosa. (1 punto)
- Un distribuidor recibe un lote de 10 teléfonos. Suponiendo independencia entre ellos, calcular la probabilidad de que en ese lote haya al menos 9 teléfonos con la batería no defectuosa. (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
La duración de las baterías sigue una distribución normal:
\[
X\sim N(24,3)
\]
Una batería se considera defectuosa si dura menos de:
\[
21\text{ horas}
\]
Los datos clave son:
- Media: \(\mu=24\)
- Desviación típica: \(\sigma=3\)
- Batería defectuosa: \(X<21\)
- Lote del apartado b): 10 teléfonos
El apartado a) se resuelve con distribución normal. El apartado b) utiliza una distribución binomial, porque contamos cuántos teléfonos tienen batería no defectuosa en un lote de 10.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Probabilidad.
Intervienen dos distribuciones:
- Distribución normal, para calcular la probabilidad de que una batería sea defectuosa.
- Distribución binomial, para calcular la probabilidad de que en un lote de 10 teléfonos haya al menos 9 no defectuosos.
Para tipificar una variable normal usamos:
\[
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}
\]
Para la binomial usamos:
\[
P(Y=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}
\]
🟢 Estrategia de resolución
Primero calcularemos:
\[
P(X<21)
\]
tipificando el valor \(21\).
Después obtendremos la probabilidad de que una batería sea no defectuosa:
\[
P(X\geq21)=1-P(X<21)
\]
En el lote de 10 teléfonos, definimos:
\[
Y=\text{número de teléfonos con batería no defectuosa}
\]
Entonces:
\[
Y\sim B(10,p)
\]
Nos piden \(P(Y\geq9)\), es decir, \(P(Y=9)+P(Y=10)\).
🟣 Resolución paso a paso
a) Probabilidad de que una batería sea defectuosa
La duración de la batería es:
\[
X\sim N(24,3)
\]
Una batería es defectuosa si:
\[
X<21
\]
Tipificamos:
\[
Z=\frac{21-24}{3}=-1
\]
Por tanto:
\[
P(X<21)=P(Z<-1)
\]
Usando la tabla de la normal:
\[
P(Z<-1)=0.1587
\]
Respuesta:
\[
\boxed{P(\text{defectuosa})=0.1587}
\]
Es decir, aproximadamente:
\[
\boxed{15.87\%}
\]
b) Probabilidad de que haya al menos 9 teléfonos con batería no defectuosa
La probabilidad de que una batería no sea defectuosa es:
\[
P(\text{no defectuosa})=1-0.1587=0.8413
\]
Definimos:
\[
Y=\text{número de teléfonos con batería no defectuosa en un lote de 10}
\]
Como se supone independencia entre teléfonos:
\[
Y\sim B(10,0.8413)
\]
Nos piden:
\[
P(Y\geq9)=P(Y=9)+P(Y=10)
\]
Calculamos:
\[
P(Y=9)=\binom{10}{9}(0.8413)^9(0.1587)
\]
\[
P(Y=10)=\binom{10}{10}(0.8413)^{10}
\]
Por tanto:
\[
P(Y\geq9)=10(0.8413)^9(0.1587)+(0.8413)^{10}
\]
\[
P(Y\geq9)\approx0.5127
\]
Respuesta:
\[
\boxed{P(Y\geq9)\approx0.513}
\]
Es decir, aproximadamente un 51,3%.
Qué debes aprender de este problema
- Una variable normal se tipifica mediante \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\).
- La probabilidad de “no defectuosa” es el complementario de “defectuosa”.
- Cuando contamos éxitos en varios ensayos independientes aparece una distribución binomial.
- “Al menos 9” significa sumar los casos \(9\) y \(10\).
- Es importante distinguir entre la probabilidad individual de un teléfono y la probabilidad de un lote completo.