Distribución normal
Aprende a trabajar con variables continuas y calcular probabilidades mediante la tipificación.
La distribución normal es el modelo más importante de probabilidad continua y aparece con frecuencia en la PAU.
Idea básica
La distribución normal describe fenómenos continuos donde los valores se concentran alrededor de una media y disminuyen progresivamente hacia los extremos.
Definición
Una variable aleatoria continua sigue una distribución normal si:
\[
X \sim N(\mu,\sigma)
\]
- \(\mu\): media
- \(\sigma\): desviación típica
Propiedades
- Es simétrica respecto a la media.
- La mayor concentración de valores está alrededor de \(\mu\).
- El área total bajo la curva es 1.
Qué debes recordar
respecto a la media
Tipificación
Para calcular probabilidades, transformamos la variable a una normal estándar:
\[
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}
\]
Entonces:
\[
Z \sim N(0,1)
\]
Cómo leer la tabla de la normal
Una vez tipificado un valor y obtenido el correspondiente valor de \(Z\), hay que consultar la tabla de la distribución normal estándar \(N(0,1)\).
La mayoría de las tablas dan directamente la probabilidad acumulada:
\[
P(Z \leq z)
\]
Es decir, el área que queda a la izquierda del valor \(z\) en la curva normal.
Qué debes recordar al usar la tabla
Ejemplo de lectura de la tabla
Supongamos que al tipificar obtenemos:
\[
Z=1.23
\]
Para buscar este valor en la tabla:
- la fila será 1.2
- la columna será 0.03
La intersección de ambos valores da:
\[
P(Z \leq 1.23)=0.8907
\]
Esto significa que la probabilidad de que la variable tipificada sea menor o igual que 1.23 es 0.8907.
Qué hacer si el valor de \(Z\) es negativo
Si el valor tipificado es negativo, puedes usar la simetría de la normal:
\[
P(Z \leq -a)=1-P(Z \leq a)
\]
Ejemplo:
\[
P(Z \leq -1.5)=1-P(Z \leq 1.5)
\]
Si en la tabla:
\[
P(Z \leq 1.5)=0.9332
\]
entonces:
\[
P(Z \leq -1.5)=1-0.9332=0.0668
\]
Casos más habituales en ejercicios
1. Menor que
\[
P(Z\leq a)
\]
Se busca directamente en la tabla.
2. Mayor que
\[
P(Z>a)=1-P(Z\leq a)
\]
Se usa la probabilidad contraria.
3. Entre dos valores
\[
P(a < Z < b)=P(Z\leq b)-P(Z\leq a)
\]
Se restan las dos acumuladas.
4. Probabilidad con valor negativo
Cuando aparece un valor negativo, usamos la simetría de la normal:
\[
P(Z\leq -a)=1-P(Z\leq a)
\]
Se transforma en un valor positivo para poder usar la tabla.
Idea clave
La tabla no da “la probabilidad de un valor exacto”, sino el área acumulada a la izquierda de un valor de \(Z\). Entender eso evita la mayoría de errores en distribución normal.
Ejemplo resuelto
La altura media de un grupo es 170 cm con desviación típica 10 cm. Calcula la probabilidad de que una persona mida menos de 180 cm.
1. Tipificamos
\[
Z=\frac{180-170}{10}=1
\]
2. Buscamos en la tabla
\[
P(Z<1)=0.8413
\]
Resultado: 0.8413
Ejemplo de intervalo
Calcula la probabilidad de que una persona mida entre 160 y 180 cm.
\[
Z_1=\frac{160-170}{10}=-1,\quad Z_2=\frac{180-170}{10}=1
\]
\[
P(160 < X < 180) = P(-1 < Z < 1) = 0.8413-0.1587=0.6826
\]
Resultado: 0.6826
Ejemplo tipo PAU: calcular un valor a partir de una probabilidad
La altura de una población sigue una distribución normal de media 170 cm y desviación típica 10 cm.
Calcula el valor \(a\) tal que:
\[
P(X \leq a)=0.9
\]
1. Interpretación
Buscamos el valor \(a\) tal que el 90% de la población esté por debajo de él.
2. Tipificación
\[
P\left(Z \leq \frac{a-170}{10}\right)=0.9
\]
3. Buscar en la tabla
Buscamos el valor de \(z\) tal que:
\[
P(Z \leq z)=0.9
\]
En la tabla se obtiene aproximadamente:
\[
z \approx 1.28
\]
4. Despejar
\[
\frac{a-170}{10}=1.28
\]
\[
a-170=12.8
\]
\[
a=182.8
\]
Resultado: 182.8 cm
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Errores habituales
- No tipificar correctamente.
- Olvidar el signo en Z.
- No interpretar bien la tabla.
Cómo estudiar este tema
Practica la tipificación y el uso de la tabla. La clave es transformar correctamente y saber interpretar probabilidades acumuladas.
Resumen final
- La normal modeliza variables continuas.
- Se define por media y desviación.
- Se usa la tipificación.
- Las probabilidades son áreas.