B1 – Inversa y ecuación matricial
Castilla y León · 2018 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Dadas las matrices
\[
A=\begin{pmatrix}
1&0&1\\
0&1&0\\
1&0&k
\end{pmatrix},
\qquad
B=\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&2\\
1&1&2
\end{pmatrix},
\]
- Discuta, según \(k\), cuándo \(A\) tiene inversa y calcúlela para \(k=2\). (1 punto)
- Para \(k=2\), resuelva \(AX+B=AB\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
La existencia de inversa depende de que el determinante no se anule. En la ecuación matricial hay que aislar \(X\) multiplicando por la inversa por el lado correcto.
🔵 Conceptos matemáticos
- Determinante e invertibilidad.
- Matriz inversa.
- Ecuaciones matriciales.
- Orden de los productos de matrices.
🟢 Estrategia de resolución
Calculamos \(|A|\), hallamos \(A^{-1}\) para \(k=2\) y transformamos la ecuación en \(X=A^{-1}(AB-B)\).
🟣 Resolución paso a paso
a) Existencia y cálculo de la inversa
\[
|A|=
\begin{vmatrix}
1&0&1\\
0&1&0\\
1&0&k
\end{vmatrix}
=k-1.
\]
Por tanto:
\[
\boxed{A\text{ tiene inversa si y solo si }k\neq1.}
\]
Para \(k=2\):
\[
A=
\begin{pmatrix}
1&0&1\\
0&1&0\\
1&0&2
\end{pmatrix},
\qquad |A|=1.
\]
La inversa es:
\[
\boxed{
A^{-1}=
\begin{pmatrix}
2&0&-1\\
0&1&0\\
-1&0&1
\end{pmatrix}.}
\]
Se puede comprobar que \(AA^{-1}=I_3\).
b) Resolución de la ecuación matricial
\[
AX+B=AB.
\]
Restamos \(B\):
\[
AX=AB-B=(A-I_3)B.
\]
Multiplicamos por \(A^{-1}\) a la izquierda:
\[
X=A^{-1}(A-I_3)B.
\]
Calculamos:
\[
A-I_3=
\begin{pmatrix}
0&0&1\\
0&0&0\\
1&0&1
\end{pmatrix}.
\]
\[
(A-I_3)B=
\begin{pmatrix}
1&1&2\\
0&0&0\\
2&1&2
\end{pmatrix}.
\]
\[
X=
\begin{pmatrix}
2&0&-1\\
0&1&0\\
-1&0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&1&2\\
0&0&0\\
2&1&2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0&1&2\\
0&0&0\\
1&0&0
\end{pmatrix}.
\]
\[
\boxed{
X=
\begin{pmatrix}
0&1&2\\
0&0&0\\
1&0&0
\end{pmatrix}.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Una matriz cuadrada es invertible exactamente cuando su determinante no es cero.
- En una ecuación matricial el orden de multiplicación no se puede intercambiar.
- La solución debe comprobarse sustituyendo en la ecuación original.