B3 – Rectángulo de diagonal mínima
Castilla y León · 2018 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
De todos los rectángulos cuyo perímetro es \(40\ \text{cm}\), encuentre el que tiene la diagonal de menor longitud. (2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
La restricción del perímetro permite expresar un lado en función del otro. Para evitar una raíz, se puede minimizar el cuadrado de la diagonal.
🔵 Conceptos matemáticos
- Planteamiento de una función con restricción.
- Teorema de Pitágoras.
- Optimización mediante derivadas.
- Comprobación de mínimo.
🟢 Estrategia de resolución
Llamamos \(x\) e \(y\) a los lados, eliminamos \(y\) con la condición del perímetro y minimizamos \(d^2\), que alcanza el mínimo en el mismo punto que \(d\).
🟣 Resolución paso a paso
Sean \(x\) e \(y\) los lados del rectángulo. La condición del perímetro es:
\[
2x+2y=40
\quad\Longrightarrow\quad
x+y=20
\quad\Longrightarrow\quad
y=20-x.
\]
Por Pitágoras, el cuadrado de la diagonal es:
\[
d^2=x^2+y^2.
\]
Sustituimos \(y=20-x\):
\[
D(x)=d^2
=x^2+(20-x)^2
=2x^2-40x+400,
\qquad 0\lt x\lt20.
\]
Derivamos:
\[
D'(x)=4x-40.
\]
Buscamos el punto crítico:
\[
4x-40=0
\quad\Longrightarrow\quad
x=10.
\]
La segunda derivada es:
\[
D''(x)=4\gt0,
\]
por lo que se trata de un mínimo. El otro lado vale:
\[
y=20-10=10.
\]
La diagonal mínima es:
\[
d=\sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt2\ \text{cm}.
\]
\[
\boxed{\text{El rectángulo es un cuadrado de }10\text{ cm de lado.}}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Una restricción permite reducir el problema a una sola variable.
- Minimizar \(d^2\) es equivalente a minimizar \(d\) porque la raíz cuadrada es creciente.
- La segunda derivada positiva confirma el mínimo.