E1 – Discusión de un sistema homogéneo
Castilla y León · 2022 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Dado el sistema
\[
\begin{cases}
2x+2my-z=0\\
x+2y+mz=0\\
x-my+mz=0
\end{cases}
\]
- Discutirlo según los valores de \(m\). (1 punto)
- Resolverlo para \(m=-2\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Conviene traducir el problema a matrices o ecuaciones y comprobar las condiciones de existencia antes de operar.
Hay que resolver todos los apartados y mantener las condiciones del enunciado durante los cálculos.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Álgebra.
- Sistemas lineales con parámetro.
- Determinante y rango.
- Clasificación de sistemas.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos, planteamos las ecuaciones necesarias y efectuamos los cálculos de forma ordenada.
Finalmente comprobamos que el resultado responde exactamente a lo pedido.
🟣 Resolución paso a paso
a) Discusión
Al ser homogéneo, siempre tiene la solución trivial. La matriz de coeficientes es
\[
A=\begin{pmatrix}2&2m&-1\\1&2&m\\1&-m&m\end{pmatrix}.
\]
Su determinante factoriza como
\[
|A|=(2m+1)(m+2).
\]
- Si \(m\ne-\frac12\) y \(m\ne-2\), \(|A|\ne0\): sistema compatible determinado, con única solución \((0,0,0)\).
- Si \(m=-\frac12\) o \(m=-2\), el rango es \(2<3\): sistema compatible indeterminado, con infinitas soluciones.
b) Caso (m=-2)
El sistema queda
\[
\begin{cases}2x-4y-z=0\\x+2y-2z=0\\x+2y-2z=0.\end{cases}
\]
Tomando \(y=3t\), se obtiene \(z=8t\) y \(x=10t\). Por tanto,
\[
\boxed{(x,y,z)=t(10,3,8)},\qquad t\in\mathbb R.
\]
Qué debes aprender de este problema
- Un sistema homogéneo nunca es incompatible.
- Si el determinante no se anula, solo existe la solución trivial.
- Cuando el rango baja, aparecen soluciones no triviales parametrizadas.