E1 – Discusión de un sistema homogéneo con parámetro
Castilla y León · 2021 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Se considera el sistema de ecuaciones lineales:
\[
\begin{cases}
x-y+z=0,\\
2x+y-z=0,\\
x+y+\lambda z=0.
\end{cases}
\]
- Discutirlo según los valores del parámetro \(\lambda\). (1,2 puntos)
- Resolverlo para \(\lambda=-1\). (0,8 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Al ser un sistema homogéneo, siempre posee la solución trivial. La discusión consiste en decidir cuándo esa solución es única y cuándo aparecen infinitas soluciones.
🔵 Conceptos matemáticos
- Determinante de la matriz de coeficientes.
- Teorema de Rouché-Frobenius.
- Sistemas homogéneos y soluciones parametrizadas.
🟢 Estrategia de resolución
Calcularemos el determinante en función de \(\lambda\). Solo habrá que estudiar por separado los valores que lo anulen y, después, resolver el caso \(\lambda=-1\) mediante reducción.
🟣 Resolución paso a paso
a) Discusión del sistema
La matriz de coeficientes es:
\[
A=
\begin{pmatrix}
1&-1&1\\
2&1&-1\\
1&1&\lambda
\end{pmatrix}.
\]
Calculamos su determinante:
\[
\begin{aligned}
\det A
&=
\begin{vmatrix}
1&-1&1\\
2&1&-1\\
1&1&\lambda
\end{vmatrix}\\
&=(\lambda+1)+(2\lambda+1)+1\\
&=3\lambda+3=3(\lambda+1).
\end{aligned}
\]
Distinguimos los casos:
- Si \(\lambda\neq-1\), entonces \(\det A\neq0\). Por tanto, \(\operatorname{rg}(A)=3\) y el sistema homogéneo es compatible determinado. Su única solución es \((0,0,0)\).
- Si \(\lambda=-1\), entonces \(\det A=0\). Debemos calcular el rango.
Para \(\lambda=-1\), la matriz ampliada se reduce así:
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&-1&1&0\\
2&1&-1&0\\
1&1&-1&0
\end{array}
\right)
\mathop{\sim}^{F_2-2F_1,\;F_3-F_1}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&-1&1&0\\
0&3&-3&0\\
0&2&-2&0
\end{array}
\right).
\]
La tercera fila es proporcional a la segunda, de modo que:
\[
\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2<3.
\]
Por tanto, para \(\lambda=-1\) el sistema es compatible indeterminado.
b) Resolución para \(\lambda=-1\)
El sistema escalonado equivale a:
\[
\begin{cases}
x-y+z=0,\\
3y-3z=0.
\end{cases}
\]
De la segunda ecuación:
\[
y=z.
\]
Tomamos \(z=t\), con \(t\in\mathbb R\). Entonces \(y=t\) y, sustituyendo en la primera ecuación:
\[
x-t+t=0\quad\Longrightarrow\quad x=0.
\]
Por tanto:
\[
\boxed{(x,y,z)=(0,t,t),\qquad t\in\mathbb R.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Un sistema homogéneo nunca puede ser incompatible.
- Si el determinante no se anula, la única solución es la trivial.
- Cuando el rango es menor que el número de incógnitas aparecen parámetros libres.