E2 – Matriz desconocida e invertibilidad
Castilla y León · 2023 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Dadas
\[
A=\begin{pmatrix}1&1\\0&a\\1&1\end{pmatrix},\qquad
B=\begin{pmatrix}3&-1\\a&0\\3&-1\end{pmatrix},\quad a\in\mathbb R\setminus\{0\},
\]
- Calcular \(C\), sabiendo que \(c_{11}=2\), tal que \(AC=B\). (1 punto)
- Si \(D=B^tA\), determinar para qué valores de \(a\) tiene \(D\) inversa. (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Conviene traducir el problema a matrices o ecuaciones y comprobar las condiciones de existencia antes de operar.
Hay que resolver todos los apartados y mantener las condiciones del enunciado durante los cálculos.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Álgebra.
- Producto de matrices.
- Matriz traspuesta e inversa.
- Determinante de una matriz cuadrada.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos, planteamos las ecuaciones necesarias y efectuamos los cálculos de forma ordenada.
Finalmente comprobamos que el resultado responde exactamente a lo pedido.
🟣 Resolución paso a paso
a) Cálculo de (C)
Escribimos \(C=\begin{pmatrix}2&p\\q&r\end{pmatrix}\). Entonces
\[
AC=\begin{pmatrix}2+q&p+r\\aq&ar\\2+q&p+r\end{pmatrix}.
\]
Al igualar con \(B\), y usando \(a\ne0\), obtenemos \(q=1\), \(r=0\), \(p=-1\). Por tanto,
\[
\boxed{C=\begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}}.
\]
b) Invertibilidad de (D)
\[
D=B^tA=
\begin{pmatrix}3&a&3\\-1&0&-1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&1\\0&a\\1&1\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}6&a^2+6\\-2&-2\end{pmatrix}.
\]
\[
|D|=-12+2(a^2+6)=2a^2.
\]
Es invertible si \(a\ne0\), condición que ya figura en el enunciado. Por tanto, \(\boxed{D\text{ tiene inversa para todo }a\in\mathbb R\setminus\{0\}}\).
Qué debes aprender de este problema
- Una matriz rectangular no tiene inversa, pero puede aparecer en una ecuación de productos.
- La igualdad de matrices permite resolver sus entradas.
- Una matriz cuadrada es invertible exactamente cuando su determinante no se anula.