E2 – Recta simétrica respecto de un plano
Castilla y León · 2018 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Determine la recta \(s\) simétrica de
\[
r\equiv x+2=y=z-2
\]
respecto del plano
\[
\pi\equiv x-z+2=0.
\]
(2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
La simetría respecto de un plano transforma cada punto en otro situado sobre la perpendicular al plano, dejando el plano como mediador del segmento.
🔵 Conceptos matemáticos
- Ecuaciones paramétricas de una recta.
- Vector normal de un plano.
- Simetría de un punto respecto de un plano.
- Paralelismo entre recta y plano.
🟢 Estrategia de resolución
Comprobamos que la recta es paralela al plano. Basta reflejar un punto de la recta; su vector director se conserva.
🟣 Resolución paso a paso
Escribimos la recta en forma paramétrica:
\[
r\equiv(-2,0,2)+t(1,1,1).
\]
Tomamos:
\[
P=(-2,0,2),\qquad \vec v_r=(1,1,1),\qquad \vec n_\pi=(1,0,-1).
\]
Como
\[
\vec v_r\cdot\vec n_\pi=(1,1,1)\cdot(1,0,-1)=0,
\]
la recta \(r\) es paralela al plano. Reflejamos el punto \(P\).
La recta perpendicular a \(\pi\) que pasa por \(P\) es:
\[
\ell\equiv(-2,0,2)+\mu(1,0,-1)
=(-2+\mu,0,2-\mu).
\]
Calculamos su intersección con el plano:
\[
(-2+\mu)-(2-\mu)+2=0
\quad\Longrightarrow\quad
2\mu-2=0
\quad\Longrightarrow\quad
\mu=1.
\]
\[
Q=\ell\cap\pi=(-1,0,1).
\]
El punto \(Q\) es el punto medio de \(P\) y de su simétrico \(P'\). Por tanto:
\[
P'=2Q-P
=2(-1,0,1)-(-2,0,2)
=(0,0,0).
\]
La recta simétrica tiene el mismo vector director y pasa por \(P'\):
\[
\boxed{s\equiv(0,0,0)+t(1,1,1),\quad t\in\mathbb R.}
\]
En forma continua:
\[
\boxed{s\equiv x=y=z.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Una recta paralela al plano conserva su dirección al reflejarse.
- El plano de simetría es mediador del segmento que une un punto y su imagen.
- Conviene comprobar que el punto medio pertenece al plano.