E3 – Perpendicularidad entre recta y plano
Castilla y León · 2022 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Dada \(r\equiv\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z+1}{4}\) y \(\pi\equiv2x+y+mz=0\), calcular \(m\) para que la recta y el plano sean perpendiculares. (1 punto)
- Calcular el plano perpendicular a \(x+y+z=1\) y \(x-y+z=2\) que pasa por \((1,2,3)\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Identificaremos puntos, vectores directores y vectores normales antes de escribir las ecuaciones.
Hay que resolver todos los apartados y mantener las condiciones del enunciado durante los cálculos.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Geometría.
- Paralelismo y perpendicularidad.
- Vectores directores y normales.
- Distancias en el espacio.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos, planteamos las ecuaciones necesarias y efectuamos los cálculos de forma ordenada.
Finalmente comprobamos que el resultado responde exactamente a lo pedido.
🟣 Resolución paso a paso
a) Recta perpendicular al plano
\[
\vec v_r=(2,1,4),\qquad \vec n_\pi=(2,1,m).
\]
Para que la recta sea perpendicular al plano, ambos vectores deben ser paralelos. Como las dos primeras componentes ya coinciden, debe ser \(\boxed{m=4}\).
b) Plano perpendicular a otros dos
Las normales de los planos dados son \(\vec n_1=(1,1,1)\) y \(\vec n_2=(1,-1,1)\). La normal del plano buscado debe ser perpendicular a ambas:
\[
\vec n=\vec n_1\times\vec n_2=(2,0,-2)\sim(1,0,-1).
\]
Usando \(P=(1,2,3)\):
\[
(x-1)-(z-3)=0\quad\Longrightarrow\quad\boxed{x-z+2=0}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- Una recta perpendicular a un plano tiene director paralelo a la normal.
- Dos condiciones de perpendicularidad se resuelven con un producto vectorial.
- El punto fija el término independiente del plano.