E4 – Planos perpendicular y secante a una recta
Castilla y León · 2021 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Dada la recta:
\[
r\equiv
x-1=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-1}{2},
\]
- Calcular el plano \(\pi_1\) que pasa por \(A=(1,2,3)\) y es perpendicular a la recta \(r\). (0,5 puntos)
- Calcular el plano \(\pi_2\) que pasa por \(B=(-1,1,-1)\) y contiene a la recta \(r\). (1,5 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
En el primer apartado el vector director de la recta será normal al plano. En el segundo, el plano debe contener tanto ese vector como el que une \(B\) con un punto de \(r\).
🔵 Conceptos matemáticos
- Perpendicularidad entre recta y plano.
- Plano que contiene una recta y un punto.
- Producto vectorial para obtener un vector normal.
🟢 Estrategia de resolución
Leeremos de \(r\) un punto y su vector director. Para \(\pi_1\) escribiremos directamente la ecuación punto-normal; para \(\pi_2\) construiremos dos vectores del plano y calcularemos su producto vectorial.
🟣 Resolución paso a paso
De la recta obtenemos:
\[
C=(1,2,1)\in r,
\qquad
\vec v_r=(1,-1,2).
\]
a) Plano \(\pi_1\) perpendicular a \(r\)
Si un plano es perpendicular a una recta, el vector director de la recta es un vector normal del plano:
\[
\vec n_1=(1,-1,2).
\]
Como \(\pi_1\) pasa por \(A=(1,2,3)\):
\[
(x-1)-(y-2)+2(z-3)=0.
\]
Simplificando:
\[
\boxed{\pi_1\equiv x-y+2z-5=0}.
\]
b) Plano \(\pi_2\) que contiene a \(r\) y pasa por \(B\)
El plano contiene \(\vec v_r\). Otro vector contenido en él es:
\[
\overrightarrow{BC}=C-B=(2,1,2).
\]
Calculamos un vector normal:
\[
\begin{aligned}
\vec n_2
&=\vec v_r\times\overrightarrow{BC}\\
&=
\begin{vmatrix}
\vec i&\vec j&\vec k\\
1&-1&2\\
2&1&2
\end{vmatrix}\\
&=(-4,2,3).
\end{aligned}
\]
Usando el punto \(B=(-1,1,-1)\):
\[
-4(x+1)+2(y-1)+3(z+1)=0.
\]
Simplificamos:
\[
-4x+2y+3z-3=0.
\]
Una ecuación equivalente es:
\[
\boxed{\pi_2\equiv4x-2y-3z+3=0}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- Una recta perpendicular a un plano es paralela a su vector normal.
- Para construir un plano que contiene una recta hacen falta dos direcciones del plano.
- El producto vectorial de esas direcciones produce un vector normal.