E6 – Estudio de una función exponencial cuadrática
Castilla y León · 2024 · Ordinaria · Específica
Ficha del problema
Enunciado
Dada la función:
\[
f(x)=e^{x^2},
\]
determinar su dominio de definición, los puntos de corte de su gráfica con los ejes, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos. Esbozar su gráfica. (2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
La función es una exponencial cuyo exponente es \(x^2\).
Como \(x^2\geq0\), siempre se cumple \(e^{x^2}\geq1\).
La monotonía se estudia con la derivada, teniendo en cuenta que el factor exponencial es siempre positivo.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Dominio de funciones.
- Puntos de corte con los ejes.
- Monotonía mediante la derivada.
- Extremos relativos.
- Representación gráfica.
El signo de \(f'(x)\) determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
🟢 Estrategia de resolución
Estudiamos primero el dominio y los cortes con los ejes.
Calculamos \(f'(x)\), localizamos sus ceros y construimos una tabla de signos.
Finalmente usamos la simetría y el comportamiento cuando \(|x|\to\infty\) para describir el esbozo.
🟣 Resolución paso a paso
Dominio y puntos de corte
La expresión \(e^{x^2}\) está definida para todo número real:
\[
\operatorname{Dom}(f)=\mathbb R.
\]
Para hallar el corte con el eje \(OY\), tomamos \(x=0\):
\[
f(0)=e^0=1.
\]
La gráfica corta al eje \(OY\) en \((0,1)\).
Como \(e^{x^2}>0\) para todo \(x\), no hay cortes con el eje \(OX\).
Crecimiento, decrecimiento y extremos
Derivamos:
\[
f'(x)=2xe^{x^2}.
\]
El factor \(e^{x^2}\) es siempre positivo, por lo que el signo de \(f'(x)\) coincide con el signo de \(x\):
- Si \(x<0\), \(f'(x)<0\): la función decrece en \(( -\infty,0)\).
- Si \(x>0\), \(f'(x)>0\): la función crece en \((0,+\infty)\).
En \(x=0\), la derivada cambia de negativa a positiva. Por tanto, hay un mínimo relativo y absoluto:
\[
\boxed{(0,1)}.
\]
No existen máximos relativos.
Esbozo de la gráfica
Representación de \(f(x)=e^{x^2}\)
La función es continua en todo \(\mathbb{R}\). Existe un mínimo absoluto en \((0,1)\).
Qué debes aprender de este problema
- La función exponencial es siempre positiva.
- En \(2xe^{x^2}\), el factor exponencial no modifica el signo de la derivada.
- Un cambio de derivada negativa a positiva produce un mínimo.
- Reconocer que una función es par facilita su representación.