E6 – Monotonía y extremos de una función polinómica
Castilla y León · 2023 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Dada \(f(x)=x^2(x+3)\), determinar su dominio, puntos de corte con los ejes, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. (2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Antes de calcular, fijaremos dominio, signo o hipótesis necesarias y elegiremos la técnica adecuada.
Hay que resolver todos los apartados y mantener las condiciones del enunciado durante los cálculos.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Dominio y continuidad.
- Derivadas, monotonía y extremos.
- Asíntotas y representación de funciones.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos, planteamos las ecuaciones necesarias y efectuamos los cálculos de forma ordenada.
Finalmente comprobamos que el resultado responde exactamente a lo pedido.
🟣 Resolución paso a paso
Al ser un polinomio, \(D_f=\mathbb R\).
\[
f(x)=x^2(x+3)=0\quad\Longrightarrow\quad x=-3\ \text{o}\ x=0.
\]
Los cortes son \((-3,0)\) y \((0,0)\); este último también es el corte con \(OY\).
\[
f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2).
\]
La derivada es positiva en \((-\infty,-2)\cup(0,\infty)\) y negativa en \((-2,0)\). Por tanto:
- crece en \((-\infty,-2)\) y \((0,\infty)\);
- decrece en \((-2,0)\);
- máximo relativo en \((-2,4)\);
- mínimo relativo en \((0,0)\).
Qué debes aprender de este problema
- Reconocer las herramientas de Características de funciones que exige el enunciado.
- Justificar cada paso antes de sustituir valores.
- Comprobar que la solución cumple las condiciones iniciales.