E7 – Continuidad e integral logarítmica
Castilla y León · 2021 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Estudiar la continuidad de la función:
\[
f(x)=
\begin{cases}
\dfrac{1-\cos x}{x},&x\neq0,\\
0,&x=0.
\end{cases}
\]
(1 punto) - Calcular:
\[
\int x\ln(x^2)\,dx.
\]
(1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
La función solo puede presentar un problema de continuidad en el punto donde cambia la definición. En la integral, una sustitución convierte la expresión en una integral logarítmica que se resuelve por partes.
🔵 Conceptos matemáticos
- Continuidad de una función definida a trozos.
- Límite indeterminado y regla de L’Hôpital.
- Cambio de variable e integración por partes.
🟢 Estrategia de resolución
Comprobaremos el límite en \(x=0\) y lo compararemos con \(f(0)\). Para la integral haremos \(u=x^2\) y desarrollaremos por completo la integración por partes de \(\int\ln u\,du\).
🟣 Resolución paso a paso
a) Continuidad
Para \(x\neq0\), la expresión:
\[
\frac{1-\cos x}{x}
\]
es cociente de funciones continuas con denominador no nulo. Por tanto, \(f\) es continua en \(\mathbb R\setminus\{0\}\).
Estudiamos \(x=0\). Al sustituir aparece:
\[
\frac{1-\cos0}{0}=\frac00,
\]
una indeterminación \(0/0\). Aplicamos L’Hôpital:
\[
\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}
=
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{1}
=0.
\]
Como:
\[
\lim_{x\to0}f(x)=0=f(0),
\]
la función es continua en \(x=0\). En conclusión:
\[
\boxed{f\text{ es continua en todo }\mathbb R}.
\]
b) Integral
Consideramos:
\[
I=\int x\ln(x^2)\,dx.
\]
Hacemos el cambio de variable:
\[
u=x^2,
\qquad
du=2x\,dx,
\qquad
x\,dx=\frac12\,du.
\]
La integral se transforma en:
\[
I=\frac12\int\ln u\,du.
\]
Resolvemos \(\int\ln u\,du\) por partes. Elegimos:
\[
\begin{cases}
v=\ln u &\Longrightarrow\quad dv=\dfrac1u\,du,\\
dw=du &\Longrightarrow\quad w=u.
\end{cases}
\]
Aplicamos \(\int v\,dw=vw-\int w\,dv\):
\[
\begin{aligned}
\int\ln u\,du
&=u\ln u-\int u\cdot\frac1u\,du\\
&=u\ln u-\int1\,du\\
&=u\ln u-u+C.
\end{aligned}
\]
Por tanto:
\[
I=\frac12(u\ln u-u)+C.
\]
Volvemos a la variable original:
\[
\boxed{
\int x\ln(x^2)\,dx
=\frac{x^2}{2}\ln(x^2)-\frac{x^2}{2}+C,
\qquad x\neq0.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- En una función a trozos solo hay que revisar especialmente los puntos donde cambia la fórmula.
- La continuidad exige que el límite coincida con el valor de la función.
- En un cambio de variable hay que transformar toda la integral y volver al final a la variable original.
- Si aparece una integral logarítmica, la integración por partes debe desarrollarse antes de dar la primitiva.