B2 – Recta perpendicular o contenida en un plano
Castilla y León · 2019 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Sean
\[
r\equiv\frac{x-1}{m}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{4},
\qquad
\pi\equiv x+y+kz=0.
\]
Determine \(m\) y \(k\) para que:
- La recta \(r\) sea perpendicular al plano \(\pi\). (1 punto)
- La recta \(r\) esté contenida en el plano \(\pi\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
La perpendicularidad exige que el director de la recta sea paralelo al normal del plano. La inclusión exige que un punto de la recta pertenezca al plano y que ambas direcciones sean compatibles.
🔵 Conceptos matemáticos
- Vector director de una recta.
- Vector normal de un plano.
- Paralelismo y perpendicularidad de vectores.
- Condición de inclusión de una recta en un plano.
🟢 Estrategia de resolución
Escribimos \(\vec v_r=(m,2,4)\), \(\vec n_\pi=(1,1,k)\) y \(P=(1,1,1)\). Aplicamos en cada apartado las condiciones geométricas correspondientes.
🟣 Resolución paso a paso
La recta pasa por \(P=(1,1,1)\) y tiene vector director \(\vec v_r=(m,2,4)\). El plano tiene vector normal \(\vec n_\pi=(1,1,k)\).
a) \(r\) perpendicular a \(\pi\)
Debe cumplirse \(\vec v_r\parallel\vec n_\pi\):
\[
(m,2,4)=\lambda(1,1,k).
\]
De la segunda coordenada, \(\lambda=2\). Entonces:
\[
m=2,\qquad 4=2k\Rightarrow k=2.
\]
\[
\boxed{m=2,\qquad k=2}.
\]
b) \(r\) contenida en \(\pi\)
Primero imponemos que \(P\) pertenezca al plano:
\[
1+1+k=0
\quad\Longrightarrow\quad
k=-2.
\]
Además, el director de \(r\) debe ser perpendicular al normal del plano:
\[
(m,2,4)\cdot(1,1,-2)=0.
\]
\[
m+2-8=0
\quad\Longrightarrow\quad
m=6.
\]
\[
\boxed{m=6,\qquad k=-2}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- Recta perpendicular a plano: director y normal son paralelos.
- Recta contenida en plano: un punto pertenece y el director es perpendicular al normal.
- Las dos situaciones utilizan condiciones geométricas diferentes.