E8 – Área bajo una función exponencial
Castilla y León · 2023 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de \(f(x)=xe^{-x}\) y el eje de abscisas cuando \(x\in[-1,0]\). (2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Antes de calcular, fijaremos dominio, signo o hipótesis necesarias y elegiremos la técnica adecuada.
Hay que resolver todos los apartados y mantener las condiciones del enunciado durante los cálculos.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Puntos de corte.
- Signo y orden de las funciones.
- Integral definida como área geométrica.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos, planteamos las ecuaciones necesarias y efectuamos los cálculos de forma ordenada.
Finalmente comprobamos que el resultado responde exactamente a lo pedido.
🟣 Resolución paso a paso
Como \(e^{-x}>0\) y \(x\le0\) en \([-1,0]\), se cumple \(f(x)\le0\). Por ello el área es
\[
A=-\int_{-1}^{0}xe^{-x}\,dx.
\]
Calculamos la primitiva por partes: \(u=x\), \(dv=e^{-x}dx\), luego \(du=dx\), \(v=-e^{-x}\):
\[
\int xe^{-x}dx=-xe^{-x}+\int e^{-x}dx=-(x+1)e^{-x}+C.
\]
Aplicando Barrow:
\[
\int_{-1}^{0}xe^{-x}dx=\left[-(x+1)e^{-x}\right]_{-1}^{0}=-1.
\]
Por tanto, \(\boxed{A=1}\) unidad cuadrada.
Qué debes aprender de este problema
- El área geométrica es positiva y obliga a estudiar previamente el signo.
- La primitiva de (xe^{-x}) se obtiene por partes.
- La regla de Barrow se aplica después de obtener la primitiva.