E8 – Dominio, asíntotas e integral racional
Castilla y León · 2024 · Extraordinaria · General
Ficha del problema
Enunciado
- Dada la función \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x^2-3x+2}\), halle su dominio y determine sus asíntotas horizontales y verticales. (1 punto)
- Calcule \(\displaystyle\int\frac{1}{x^2-3x+2}\,dx\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
El logaritmo exige \(x>0\), y el denominador no puede anularse.
En \(x=1\) aparece una indeterminación \(0/0\), por lo que no basta con mirar el denominador: hay que calcular el límite.
La integral se resuelve factorizando el denominador y descomponiendo en fracciones simples.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Dominio de funciones logarítmicas.
- Asíntotas verticales y horizontales.
- Discontinuidad evitable.
- Integración por fracciones simples.
Un cero del denominador no siempre produce una asíntota vertical.
🟢 Estrategia de resolución
Factorizamos \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\).
Estudiamos por separado los límites en \(0^+\), \(1\), \(2\) y \(+\infty\).
Para la primitiva, planteamos \(\dfrac1{(x-1)(x-2)}=\dfrac A{x-1}+\dfrac B{x-2}\) y calculamos cada constante.
🟣 Resolución paso a paso
a) Dominio y asíntotas
Factorizamos el denominador:
\[x^2-3x+2=(x-1)(x-2).\]
El logaritmo exige \(x>0\), y además \(x\neq1,2\). Por tanto:
\[\boxed{D_f=(0,1)\cup(1,2)\cup(2,+\infty)}.\]
En el extremo \(x=0\):
\[\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{(x-1)(x-2)}=-\infty,\]
por lo que \(x=0\) es una asíntota vertical.
En \(x=1\) aparece \(0/0\). Aplicando L'Hôpital:
\[\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x^2-3x+2}=\lim_{x\to1}\frac{1/x}{2x-3}=-1.\]
El límite es finito: \(x=1\) es una discontinuidad evitable, no una asíntota.
En \(x=2\), el numerador tiende a \(\ln2\neq0\) y el denominador a \(0\), así que \(x=2\) es una asíntota vertical.
Finalmente:
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^2-3x+2}=0,\]
por lo que \(y=0\) es una asíntota horizontal.
Así:
\[\boxed{\text{AV: }x=0\text{ y }x=2;\qquad \text{AH: }y=0.}\]
b) Cálculo de la primitiva
Descomponemos en fracciones simples:
\[\frac1{(x-1)(x-2)}=\frac A{x-1}+\frac B{x-2}.\]
Multiplicando por \((x-1)(x-2)\):
\[1=A(x-2)+B(x-1).\]
Tomando \(x=1\), obtenemos \(A=-1\); tomando \(x=2\), obtenemos \(B=1\). Por tanto:
\[\frac1{x^2-3x+2}=-\frac1{x-1}+\frac1{x-2}.\]
Integramos término a término:
\[\int\frac1{x^2-3x+2}\,dx=-\int\frac1{x-1}\,dx+\int\frac1{x-2}\,dx.\]
Así:
\[=-\ln|x-1|+\ln|x-2|+C.\]
Respuesta: \[\boxed{\int\frac1{x^2-3x+2}\,dx=\ln\left|\frac{x-2}{x-1}\right|+C}.\]
Qué debes aprender de este problema
- El dominio combina las restricciones del logaritmo y del denominador.
- Un cero del denominador exige calcular el límite antes de afirmar que hay asíntota.
- En \(x=1\) la discontinuidad es evitable.
- Las fracciones simples convierten una integral racional en logaritmos elementales.