B4 – Integral racional y límite trigonométrico
Castilla y León · 2019 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Sea
\[
f(x)=\frac{2x+3}{x^2+3x+1}.
\]
Halle el área limitada por su gráfica, el eje \(OX\) y las rectas \(x=0\) y \(x=2\). (1 punto) - Calcule
\[
\lim_{x\to0}\frac{x\sin x}{3\cos x-3}.
\]
(1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
En el área debemos comprobar que la función es continua y no cambia de signo en \([0,2]\). En el límite aparece una indeterminación que requiere dos aplicaciones de L’Hôpital.
🔵 Conceptos matemáticos
- Dominio y signo de una función racional.
- Integral del tipo \(u'/u\).
- Indeterminación \(0/0\).
- Regla de L’Hôpital.
🟢 Estrategia de resolución
Localizamos ceros del denominador y del numerador para justificar el área. Después calculamos la primitiva. En el límite identificamos la indeterminación antes de derivar numerador y denominador.
🟣 Resolución paso a paso
a) Área bajo la función
Los ceros del denominador son:
\[
x^2+3x+1=0
\quad\Longrightarrow\quad
x=\frac{-3\pm\sqrt5}{2}.
\]
Ambos son negativos, por lo que el denominador no se anula en \([0,2]\). El numerador \(2x+3\) también es positivo en ese intervalo. Así, \(f(x)>0\) en \([0,2]\) y el área es:
\[
A=\int_0^2\frac{2x+3}{x^2+3x+1}\,dx.
\]
Calculamos primero la primitiva. Como la derivada del denominador es \(2x+3\):
\[
\int\frac{2x+3}{x^2+3x+1}\,dx
=\ln|x^2+3x+1|+C.
\]
Aplicamos Barrow:
\[
A=
\left[\ln|x^2+3x+1|\right]_0^2
=\ln(11)-\ln(1)
=\boxed{\ln 11\ \text{u}^2}.
\]
b) Cálculo del límite
Sustituimos \(x=0\):
\[
\frac{0\sin0}{3\cos0-3}=\frac00.
\]
Tenemos la indeterminación \(\boldsymbol{0/0}\). Aplicamos L’Hôpital:
\[
\lim_{x\to0}\frac{x\sin x}{3\cos x-3}
=
\lim_{x\to0}\frac{\sin x+x\cos x}{-3\sin x}.
\]
La sustitución sigue dando \(0/0\). Aplicamos L’Hôpital otra vez:
\[
\lim_{x\to0}
\frac{2\cos x-x\sin x}{-3\cos x}
=
\frac{2}{-3}
=
\boxed{-\frac23}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- Antes de integrar un área hay que estudiar continuidad y signo.
- Si el numerador es la derivada del denominador aparece un logaritmo.
- L’Hôpital puede aplicarse de nuevo si persiste la misma indeterminación.