Resuelve: \(\cos x\cdot\cot x=\frac{3}{2}\)

Resolución paso a paso

Escribimos la cotangente mediante seno y coseno:

\[
\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}.
\]

La ecuación queda:

\[
\frac{\cos^2x}{\sin x}=\frac32.
\]

Como aparece una cotangente, debemos mantener la condición \(\sin x\neq0\). Multiplicamos por \(2\sin x\) y usamos \(\cos^2x=1-\sin^2x\):

\[
2\cos^2x=3\sin x,
\]

\[
2(1-\sin^2x)=3\sin x.
\]

Llamamos \(s=\sin x\):

\[
2s^2+3s-2=0
\quad\Longrightarrow\quad
(2s-1)(s+2)=0.
\]

Obtenemos \(s=\frac12\) o \(s=-2\). La segunda posibilidad se descarta porque el seno siempre está entre \(-1\) y \(1\). Así:

\[
\sin x=\frac12.
\]

El seno vale \(\frac12\) en el primer y segundo cuadrante:

\[
x=30^\circ+360^\circ k
\quad\text{o}\quad
x=150^\circ+360^\circ k.
\]

Soluciones en una vuelta:

\[
\boxed{x\in\left\{30^\circ,150^\circ\right\}
=\left\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right\}}.
\]